# ANOVA Varianzanalyse

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Varianzanalyse, Analysis of Variances, oder ANOVA ist die wichtigste und mächtigste Methode in der Statistik überhaupt.

Design of Experiments, Taguchi, Conjoint Analyse, Mess-System Analyse usw. sind nichts anderes als spezielle ANOVA.

Grundlegendes Merkmal ist, dass Unterschiede von Mittelwerten anhand ihrer Varianzen bewertet werden.

Einführende Bemerkungen zur ANOVA.

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ANOVA

Konkrete Zahlenbeispiele mit expliziter Darstellung aller Rechenschritte befinden sich hier.

Analysis of Variance, Varianzanalyse.

Auf dem a llgemeinen linearen Modell beruhendes Verfahren.

Modellgleichung: Y= X1 + X2 + ... + Xn.

Die Ausprägung EINER abhängigen Variablen Y setzt sich also additiv aus MEHREREN unabhängigen Variablen Xi zusammen.

Für den Fall mehrerer abhängiger Variablen siehe MANOVA.

Siehe auch Kovarianzanalyse.

ANOVA ist ein von Ronald Fisher ursprünglich für agrartechnische Experimente entwickeltes Verfahren, das viele Informationen gleichzeitig liefert, und mittlerweile in allen wissenschaftlichen Zweigen Anwendung findet.

ANOVA ist ein statistisches Auswerteverfahren für Mittelwert vergleiche, das bei Datenmaterial angewendet wird, welches folgende Eigenschaften besitzen muss:

- Messwerte liegen "sinnvoll" gruppiert (Messwiederholung, der Normalfall) oder einzeln (keine Messwiederholung, selten) vor.

- Falls Gruppen: Jede Gruppe hat ihren eigenen Gruppenmittelwert

  - Falls nur nominales Skalenniveau: -> Log-Lineare Modelle

- Alle Gruppen zusammen haben einen Gesamt-Mittelwert.

- Die Varianz der Daten ist überall annähernd gleich (Varianzhomogenität)

  - Nachprüfbar z.B. mit Levene Test oder Bartlett Test.

- Messwerte (unabhängige Variablen) und Zielgrösse (abhängigen Variable) weichen nicht stark von einer Normalverteilung ab.

  - Nachprüfbar z.B. mit Kolmogoroff-Smirnoff Anpassungstest bzw. Lilliefors Test.

  - Falls nicht normalverteilt: Siehe andere Verfahren, z.B.: Randomisierungs-Varianzanalyse oder Log-Lineare Modelle.

- Zirkularität muss gegeben sein, wird meistens nicht nachgeprüft.

ANOVA

- ist ein Omnibus Test, das heisst, ANOVA testet das gesamte Datenmaterial unspezifisch auf einmal.

- kann als Erweiterung des t-Tests auf mehr als 2 Stichproben angesehen werden.

ANOVA sollte beim Mittelwertsvergleich von mehr als 2 Stichproben anstelle von wiederholten t-Tests bevorzugt werden. (siehe multiples Testen)

ANOVA vergleicht die Streuung (genauer gesagt die Varianz) der Stichprobenmittelwerte mit der Streuung der Stichprobeneinzelwerte innerhalb der Stichproben.

Man nennt dies auch Varianzkomponentenzerlegung.

Vereinfacht kann man sagen:

[Streuung innerhalb der Gruppen] + [Streuung der Gruppenmittelwerte] = [Gesamte Streuung].

Als Ergebnis liefert ANOVA die Information, ob sich die Stichprobenmittelwerte untereinander signifikant unterscheiden.

Die Funktionsweise von ANOVA wird in folgender Tabelle beispielhaft ausführlicher erläutert.

Beispiel 1: Einfaktorielle ANOVA über 3 Faktorstufen (hier: 3 Stichproben). Es wird nur ein Mass untersucht Zu diesem Mass liegen 3 Stichproben (Gruppen von Messwerten) vor, jeweils 7 Messungen.
Die Einzelwerte innerhalb der 3 Gruppen streuen augenscheinlich weniger als die Mittelwerte der Gruppen. Die Gruppenmittelwerte unterscheiden sich also signifikant, d.h.: Zwischen den einzelnen Gruppen ist irgend etwas "anders". | Die Einzelwerte der 3 Gruppen streuen offensichtlich weiter als die Mittelwerte der Gruppen. Die Gruppenmittelwerte unterscheiden sich also nicht signifikant, d.h.: die mit blossem Auge erkennbaren Unterschiede zwischen den einzelnen Gruppen sind eher zufälliger Natur. Eine andere Anordnung der Messwerte würde das menschliche Auge möglicherweise zu anderen Schlussfolgerungen verleiten.

Im obigen Beispiel 1 könnte z.B.der Ernteertrag in Abhängigkeit von in 3 verschiedenen Konzentrationen ausgebrachten Düngers dargestellt sein.

Während im linken Bild die Zunahme des Ertrags mit der Düngerkonzentration offensichtlich scheint, geht dies aus dem rechten Bild nicht so eindeutig hervor, da es einige Messpunkte gibt, die bei niederer Konzentration einen höheren Ertrag aufweisen.

Nun nehmen wir an, wir führen eine Ertragsstudie durch, die ausser der Düngerkonzentration zusätzlich noch die Menge ausgebrachten Wassers berücksichtigt.

Wir betrachten beispielsweise 2 verschiedene Wassermengen und 3 Düngerkonzentrationen.

Beispiel 2: Zweifaktorielle ANOVA über 2 und 3 Faktorstufen. Es werden 2 Masse untersucht Ein Mass wird auf 2, das andere auf 3 Stufen gemessen, jeweils 4 Messungen. Um die Mächtigkeit der ANOVA zu veranschaulichen, tun wir im Folgenden so, als ob wir bei der selben Untersuchung 2 verschiedene Ergebnisse erhalten hätten (links und rechts in folgender Tabelle)
Die Einzelwerte innerhalb der 3 Gruppen streuen augenscheinlich weniger als die Mittelwerte der Gruppen. Die Gruppenmittelwerte unterscheiden sich also signifikant.
Sowohl viel Wasser als auch viel Dünger bringen offensichtlich den höchsten Ertrag | Den höchsten Ertrag bekommt man offensichtlich, wenn man entweder viel Wasser oder viel Dünger ausbringt, aber nicht beides. Hier liegt eine Wechselwirkung von Wasser und Ertrag vor: Die vermehrte Zugabe von Wasser steigert oder senkt den Ertrag , je nachdem ob wenig oder viel Dünger gegeben wird. Die vermehrte Zugabe von Dünger steigert oder senkt den Ertrag , je nachdem ob wenig oder viel Wasser gegeben wird. Das Gesamt-Optimum scheint bei Zugabe von wenig Dünger und viel Wasser zu liegen.
Durch die klassische Methode "Alle Parameter festhalten und einen Parameter so lange variieren, bis der Ertrag optimal ist" hätte man im linken Fall das absolute Optimum sicherlich gefunden. Im rechten Fall jedoch wäre das dadurch erreichte Endergebnis stark abhängig davon, bei welcher Parameterkonstellation man gestartet wäre:
Startpunkt bei Parameterkonstellation | Ermitteltes "Optimum" | Absolutes Optimum erreicht?
wenig Dünger, variieren von Wasser | wenig Dünger, viel Wasser | Ja
wenig Wasser, variieren von Dünger | viel Dünger, wenig Wasser | Nein
normal Dünger, variieren von Wasser | keine Auswirkung der Wassermenge | Nein
viel Wasser, variieren von Dünger | wenig Dünger, viel Wasser | Ja
viel Dünger, variieren von Wasser | viel Dünger, wenig Wasser | Nein
Unten sind die statistischen Auswertetabellen des obigen Beispiels 2 dargestellt.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 100,00% deuten die Messwerte darauf hin, dass die alleinige Veränderung eines der beiden Parameter Wasser oder Dünger eine systematische Auswirkung auf den Ertrag hat (Zeilen A und B). Achtung, dem zuvor Gesagten liegt der Bayes'sche Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde. Keine Wechselwirkung: Mit nur 2,37% Wahrscheinlichkeit deuten die Messwerte darauf hin, dass die Veränderung eines Parameters die Wirkung des anderen Parameters beeinträchtigt. Anders formuliert: Die Abhängigkeitscharakteristik des Ertrags vom einen Parameter hängt NICHT grundlegend davon ab, wie der andere Parameter eingestellt ist. | Mit einer Wahrscheinlichkeit von 72.34 bzw. 99.97% deuten die Messwerte darauf hin, dass die alleinige Veränderung eines der beiden Parameter Wasser bzw. Dünger eine systematische Auswirkung auf den Ertrag hat (Zeilen A und B). Achtung, dem zuvor Gesagten liegt der Bayes'sche Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde. Wechselwirkung: Mit 100,0% Wahrscheinlichkeit deuten die Messwerte darauf hin, dass die Veränderung eines Parameters die Wirkung des anderen Parameters beeinträchtigt. Anders formuliert: Die Abhängigkeitscharakteristik des Ertrags vom einen Parameter hängt grundlegend davon ab, wie der andere Parameter eingestellt ist.

Bei einer mehrfaktoriellen ANOVA (meisstens der Fall) wie im Beispiel 2 veranschaulicht, werden die Stichproben hinsichtlich mehrerer Merkmal e gleichzeitig analysiert.

Dabei gewinnt man zusätzlich Information über mögliche Wechselwirkungen der Faktoren untereinander

Der Hauptpluspunkt der ANOVA Vorgehensweise liegt darin, dass Alle Faktoren sowie eventuelle Wechselwirkungen von Faktoren untereinander gleichzeitig analysiert werden.

Für einige Varianzanalysebeispiele siehe folgende Exceldatei

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19.08.2005