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# Varianz ist Information

## Quadrat der Standardabweichung

Zweites zentrales Moment einer (Wahrscheinlichkeits-) Dichtefunktion.

Auch mittlere Quadratesumme (MQS) genannt.

Quadrat der Standardabweichung. Formeln und Anmerkungen siehe dort.

Wichtigstes Streuungsmass (Dispersionsmass) in der Statistik.

Im Gegensatz zur Standardabweichung ist die Varianz additiv und damit leicht interpretierbar, nämlich als Information.

Viele statistische Modelle haben die "Maximierung der durch das Modell erklärten Varianz" (also die Minimierung der Restvarianz) zur Grundlage.

Das wird durch folgende, grundlegende Annahme legitimiert:

> "Das Ausmass der Varianz eines Datensatzes ist ein Mass für dessen Informationsgehalt"

Deshalb ist bei statistischen Modellen immer von "erklärter Varianz" die Rede, was demnach mit dem durch das vorliegende Modell erfassten Informationsgehalt gleichgesetzt werden kann.

Beispiel: Bestimmtheitsmass (= Quadrat des Korrelationskoeffizienten)

= Quotient aus erklärter Varianz und gesamter Varianz.

Weitere Beispiele sind ANOVA und Kleinste Quadrate Methode.

Beispiel:

Ausgangsdaten | Mittelwert | Varianz
1, 4, 3, 8 | (1+4+3+8)/4= 4 | =(9+0+1+16)/4 = 26/4 = 6.5

Verschiebungssatz

Es gilt allgemein:

Varianz = Mittelwert aller quadrierten Werte - quadrierter Mittelwert

|  | "Beweis": Es ist --> = = =

µ: Mittelwert

Tests, die Varianzunterschiede testen, sind beispielsweise:

- Bartlett Test

- F-Test

- Levene Test

- Box'scher M-Test

In den Vertiefungen der Rubriken Carakteristische Funktion und Hypergeometrische Verteilung

sind Wege beschrieben, wie man zu Varianzen bei diskreten Verteilungsfunktionen kommt.

Für Vertrauensintervalle der Varianz bei normalverteilten Stichproben siehe Vertrauensintervalle.

Verallgemeinerte Streuungsmasse (--> Disparität) sind beispielsweise

Gini Koeffizient

Theil Index