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# Z-Transformation nach Fisher

Problem: Der Korrelationskoeffizient ist 2-seitig begrenzt (-1.....1).

Damit gestalten sich statistische Methoden, wie z.B. die Berechnung des Vertrauensbereiches schwierig, insbesondere dann,

wenn der zu betrachtende Korrelationskoeffizient nahe bei +1 oder -1 liegt.

Die Z-Transformation (Tangenshyperbolicus-Transformation)

bringt den Korrelationskoeffizienten in seinem gesamten Wertebereich (-1.....+1) "annähernd" auf Normalverteilungsform,

das heisst, der Korrelationskoeffizient wird durch die Z-Transformation (Fisher) asymptotisch normalverteilt, sodass normalverteilungsbasierte Testmethoden angewandt werden können.

> Anmerkung:

> Es geht um Normalverteilungsform des Korrelationskoeffizienten selbst, und nicht der Ausgangsdaten, aus denen der Korrelationskoeffizient berechnet wird.

Erwartungswert und Varianz des Z-transformierten Korrelationskoeffizienten lauten:

Erwartungswert | Varianz
| 1/(n-3)
Den Erwartungswert des Korrelationskoeffizienten in der transformierten Form erhält man natürlich, indem man ihn in obige Formel einsetzt.

Beispiel: Es wurde mit 100 Messwerten ein Korrelationskoeffizient ρ = 0,35 errechnet.

Berechnung mittels Fisher-Transformation | Alternative Berechnung mit der t-verteilten Prüfgrösse
Nullhypothese: ρ = 0 Alternativhypothese: ρ ≠ 0 ρ = 0,35 --> Z-Transformation ergibt 0,365 ρ = 0 --> Z-Transformation ergibt 0. Standardisieren ergibt: = 3.594 Die Excelfunktion STANDNORMVERT(3,594) ergibt 99,984% Die Nullhypothese kann also mit sehr hohem Signifikanzniveau (> 99,98%) verworfen werden. | = = 3.881 Mit der Excelfunktion 1-TVERT(3.881; 98; 1) erhält man 99.77%

Anmerkung:

Testet man nicht gegen ρ = 0, sondern beispielsweise ρ= 0,2, dann gilt: Nullhypothese: ρ = 0,2. ρ = 0,35 --> Z-Transformation ergibt 0,365 ρ = 0,2 --> Z-Transformation ergibt 0,203 Standardisieren ergibt: =1,5955 Die Excelfunktion STANDNORMVERT(1,5955) ergibt 94,47% Die Nullhypothese kann auch hier verworfen werden, wenn man das Signifikanzniveau etwas niederer ansetzt (z.B. 90%) | =1.75446 95.876%

22.11.2006