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Starkes und schwaches Gesetz der grossen Zahl

Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nähert sich um so mehr der theoretischen Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis, je häufiger das Zufallsexperiment wiederholt wird.

- Starkes Gesetz der grossen Zahlen:

  "Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nimmt bei unendlicher

  Wiederholung "fast sicher" den theoretisch erwarteten Wert an".

- Schwaches Gesetz der grossen Zahlen:

  ("Konvergenz der Wahrscheinlichkeit")

  "Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nähert sich seiner theoretischen Wahrscheinlichkeit bei entsprechend häufiger Wiederholung "beliebig nahe"" (das epsilon wird beliebig klein).

Das schwache Gesetz kann man mit der Tschebyscheff Ungleichung

relativ einfach beweisen; hier der grobe Gedankengang:

sigma wird mit wachsendem Stichprobenumfang gemäss n-1/2 kleiner. Demnach kann man für grösser werdendes n den Faktor k immer grösser wählen, wodurch die rechte Seite der Tschebyscheff Ungleichung beliebig klein wird.

Für alle Gebiete und Aufgabenstellungen der Statistik ist das schwache Gesetz der grossen Zahlen ausreichend.

Ein sehr schönes Beispiel für dieses Gesetz liefert die Entropie.

Das Starke Gesetz der grossen Zahlen wird eher für mathematische Beweise benötigt.

Anmerkung:

Das Verhältnis der Häufigkeiten der Zufallsereignisse nähert sich zwar dem theoretisch erwarteten Wert beliebig nahe; die absoluten Abweichungen der Häufigkeiten werden jedoch tendenziell grösser. Das kann man beispielhaft direkt aus der Poissonverteilung entnehmen, deren Varianz gleich ihrem Erwartungswert ist: Beide werden immer grösser, je mehr Ereignisse vorhanden sind.

Beispiel 1:

Münzwurf, Kopf oder Zahl.

Das Verhältnis Kopf/Zahl nähert sich zwar immer mehr 50/50, die absoluten Unterschiede in den Häufigkeiten werden aber grösser, wie folgende Exceldatei veranschaulicht.

Beispiel 2, Lotto:

Der reine Zufall sorgt dafür, dass manche Zahlen seltener gezogen werden. Dies verleitet ahnungslose Lottospieler dazu, genau diese Zahlen zu tippen. Da sehr viele Lottospieler diesem Irrtum erliegen, schmälern sie obendrein auch noch ihren Gewinn, sollten sie irgendwann einmal Glück haben.

Die 13 im 6 aus 49 Lotto bevorzugt zu tippen ist also gleich zweimal falsch.