Der Jonckheere Terpstra Test untersucht die Mediane von mehreren ordinal skalierten Stichproben auf einen Trend.
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Jonckheere Terpstra Test

Trend test bei ordinalem Datenniveau.

Voraussetzung: Homomere Stichproben.

Dieser Test wird nach einem signifikanten Kruskal-Wallis Test eingesetzt, wenn für die Mediane der Stichproben folgende Nullhypothese formuliert wird:

, wobei M für den Median der jeweiligen Stichprobe steht.

Die Prüfgrösse lautet:

Ni, Nj: Stichprobenumfänge der jeweils 2 betrachteten Stichproben.

Der Index i bezieht sich auf die Stichprobe mit dem jeweils kleineren erwarteten Median.

Ti: Rangsumme derjeniger der jeweils 2 betrachteten Stichproben, welche den kleineren Median hat.

Es werden alle Stichproben miteinander verglichen.

Man erkennt, dass die Prüfgrösse die Summe der Prüfgrössen paarweiser Mann-Whitney Tests darstellt.

Für kleine Stichprobenumfänge (Alle Ni <5) gibt es tabellierte Schwellenwerte.

Für grössere Stichproben ist der Erwartungswert von S normalverteilt mit

Mittelwert |
Standardabweichung |

Die Vorgehensweise beim Jonckheere Terpstra Test ist ähnlich wie beim Mann-Whitney Test.

1. Jeweils zwei Stichproben werden in einen gemeinsamen Topf geworfen und dann die Einzelwerte in eine auf- (oder absteigende) Reihenfolge gebracht.

2. Jeder Einzelwert einer Stichprobenpaarung bekommt gemäss seiner Position in der Reihenfolge einen Rang zugewiesen. Der erste Rang ist 1, der nächstgrössere (oder kleinere) 2, usw. Bei Gleichheit mehrerer Messwerte wird allen betroffenen Werten ein gemeinsamer mittlerer Rang zugewiesen.

3. Die Rangwerte aller Elemente werden für jedes Stichprobenpaar gesondert aufsummiert. --> "Rangsummen"

4. Die Rangsummen derjeniger Stichproben eines jeden Paares, die den kleineren Median haben, bilden die Ti in der Prüfgrösse.

   > - Sind gleiche Rangwerte in beiden Stichproben eines Paares zu finden, so weist man derjenigen Stichprobe, bei der man den niedrigeren Median erwartet, die höheren (ungemittelten) Ränge zu.

   >   Dieses Vorgehen ist also konservativ, da es das Detektieren eines Trend s erschwert.

5. Berechnung der Teststatistik für den gesamten Satz Stichproben.

Beispiel

0.)

Originaldaten

A | B | C
2 | 1 | 3
4 | 3 | 8
4 | 6 | 8
5 | 9 | 9
6 |  | 11
Mediane
4 | 4,5 | 8

1.) + 2.) + 3.)

Gemeinsame Rangreihen

Werte A-B | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 | 6 | 9 | Rangsumme der Stichprobe mit kleinerem Median | Ni | Nj
Ränge A (Median=4) |  | 2 |  | 4.5 | 4.5 | 6 |  | 7.5->8 |  | 25 | 5 | 4
Ränge B (Median = 4,5) | 1 |  | 3 |  |  |  | 7.5->7 |  | 9

Werte A-C | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 | 8 | 8 | 9 | 11 | Rangsumme der Stichprobe mit kleinerem Median | Ni | Nj
Ränge A (Median=4) | 1 |  | 3.5 | 3.5 | 5 | 6 |  |  |  |  | 19 | 5 | 5
Ränge C (Median = 8) |  | 2 |  |  |  |  | 7.5 | 7.5 | 9 | 10

Werte B-C | 1 | 3 | 3 | 6 | 8 | 8 | 9 | 9 | 11 | Rangsumme der Stichprobe mit kleinerem Median | Ni | Nj
Ränge B (Median=4,5) | 1 | 2.5->3 |  | 4 |  |  | 7.5->8 |  |  | 16 | 4 | 5
Ränge C (Median = 8) |  |  | 2.5->2 |  | 5.5 | 5.5 |  | 7.5->7 | 9

4.)

Berechnen der Prüfgrösse

= 45

Mit N=14 ergibt sich der Erwartungswert der Prüfgrösse S zu

,

und die Standardabweichung zu

Der standardisierte Wert von S in den vorliegenden Stichproben berechnet sich also zu

Mit der EXCEL Funktion STANDNORMINV (1,42) ergibt sich ein Signifikanzniveau von 92,2%.

Der vermutete Trend ist also zu 92,2% nicht bloss zufällig.

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25.08.2005