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Extremwerttheorem

Entspricht dem zentralen Grenzwertsatz, jedoch nicht für den Mittelwert, sondern für die jeweils grössten bzw. kleinsten Werte aus vielen Stichproben.

Betrachtet man die Extrema (also entweder die Maxima oder die Minima) von Stichproben, dann unterliegen diese der so genannten generalisierten Extremwertverteilung. Diese kann in 3 Typen unterteilt werden.

Welcher Typ nun jeweils der gültige ist, hängt davon ab, welche Form die Ausgangsverteilung hat.

Die Form meint hier ausschliesslich die "Schwänze" der Ausgangsverteilungen: Ob sie dick, dünn oder kurz sind.

Allgemeine Form:

falls delta <> 0, falls delta =0

Form der Ausgangsverteilung | Beispiele | dazu gehörige Extremwertverteilung
fat tailed (heavy tailed) | t-Verteilung, Cauchy Verteilung, Pareto Verteilung | Frechet (Typ2), delta>0
thin tailed (long tailed) | Exponentialverteilung, Poissonverteilung, negative Binomialverteilung, Gammaverteilung, Normalverteilung, Lognormalverteilung Alle Verteilungs dichtefunktionen, deren rechter Schwanz sich der Null mindestens so schnell nähert wie die Exponentialverteilung. | Gumbel (Typ1) delta =0
short tailed | Weibull Verteilung Für alle Schwänze von linksseitig begrenzten (nullbegrenzten) Verteilungs dichtefunktionen. | Weibull (Typ3) delta<0

Insbesondere ist die Extremwertverteilung einer Weibullverteilung wieder weibullvetreilt.

Anwendung findet die Extremwertstatistik z.B. in:

- Versicherungswesen: Abschätzen der zu erwartenden denkbar grössten Schäden,

- Wettervorhersage: Abschätzen der denkbar höchsten zu erwartenden Flut, höchsten / tiefsten Temperatur, usw.