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Stevens Okkupanztest auf Zufälligkeit in Besetzungen

Abgrenzung:

- Okkupanztest

  - Die Anzahl Intervalle ist durch äussere Bedingungen vorgegeben (z.B. Wochentage). Betrachtung der Anzahl Intervalle, die mindestens 1 Ereignis enthalten.

- Ereignishäufungstest

  - Die Anzahl Intervalle ist durch äussere Bedingungen vorgegeben (z.B. Wochentage). Betrachtung der Besetzungszahl eines bestimmten Intervalls im Vergleich zu allen anderen Intervallen.

- Nullklassentest

  - Zerlegen der theoretischen Verteilungsfunktion in so viele gleichgrosse Klassen, wie für die zu testende Verteilungsfunktion Anzahl Messwerte vorliegen. Betrachtung der Anzahl unbesetzter Intervalle.

(Lat. occupare = besetzen)

Dieser Test überprüft die Anzahl besetzter (Zeit-) Intervalle, die mit mindestens einem Ereignis belegt sind, auf Zufälligkeit.

Der Test fragt nicht danach, wie viele Ereignisse sich in den einzelnen Intervallen befinden

Für die Überprüfung der Besetzungszahlen pro Intervall siehe Ereignishäufungstest.

Zur Verdeutlichung dieses Tests:

Gegeben seien n=7 Zeitintervalle und k=4 Ereignisse. Jedes Ereignis kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jedes der 7 Intervalle fallen.

Ist es zufällig, wenn alle 4 Ereignisse in ein einziges Zeitintervall fallen (z=1)?

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens z Intervalle mit mindestens einem Ereignis (also überhaupt) besetzt sind, berechnet sich zu:

Hier ist k die gesamte Anzahl der auf die Intervalle zu verteilenden Ereignisse und n die Anzahl zur Verfügung stehender Intervalle.

Dieser Test existiert sowohl in exakter als auch in asymptotischer Form.

a) exakter Test (bis n=20):

Der exakte Test ist im Prinzip nichts Anderes als das Zusammenzählen aller relevanten Punktwahrscheinlichkeiten zu einer Überschreitungswahrscheinlichkeit nach zuvor genannter Formel.

Siehe dazu diese Exceldatei.

Das folgende Zahlenbeispiel stammt aus der Exceldatei:

n=20, k=10, z=6 --> p = 7,033%.

Erläuterung:

Hat man 20 Intervalle und 10 Ereignisse, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass diese 10 Ereignisse sich auf BIS ZU 6 Intervalle verteilen, = 7,033%. (Auf ein paar Intervalle fallen also mindestens 2 Ereignisse).

Umkehrschluss: Findet man bei 20 Intervallen 10 Ereignisse auf 6 Intervalle verteilt vor, dann wäre dies bei einem vorher angesetzten Signifikanzniveau von 90 % signifikant, denn 100% - 7,033% > 90%.

Interpretation: Die 10 Ereignisse verteilen sich überzufällig "geballt" auf die 20 Intervalle.

b) asymptotischer Test (ab n=20 und z möglichst weit weg vom Erwartungswert)

Erwartungswert und Standardabweichung der Anzahl belegter Intervalle z bei k zu verteilenden Ereignissen und n zur Verfügung stehenden Intervallen liegen bei

Der standardisierte Erwartungswert von z

ist asymptotisch standardnormalverteilt.

Für asymptotische Berechnungen siehe diese Exceldatei.

Siehe auch Nullklassentest.

Anmerkung:

Die exakte und die asymptotische Berechnungsweise unterscheiden sich in der näheren Umgebung des Erwartungswertes von z zum Teil dramatisch, auch für grosse n (~50).

Die asymptotische Testform wird vom Verfasser deshalb grundlegend angezweifelt.

Der Verfasser hat die in oben genannter Exceltabelle verwirklichte exakte Testform mit Tabellenwerken verglichen und befand hinreichend gute Übereinstimmung.

Es bleiben hiermit Zweifel an der asymptotischen Testform