Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit
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Bayes'scher und frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit sind das selbe? Ja und nein.

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Wahrscheinlichkeit

Masszahl für das Auftreten eines Ereignisses.

Normiert auf Werte zwischen 0 (=Ereignis tritt "fast sicher" nicht ein) und 1 (Ereignis tritt fast sicher ein).

Konkret angegebene Wahrscheinlichkeitswerte inplizieren immer eine genauere Kenntnis über das Auftreten des zugehörenden Ereignisses, d.h.: Der Wahrscheinlichkeitswert muss entweder aus theoretischen Betrachtungen berechenbar, oder empirisch „hinreichend sicher“ ermittelt worden sein.

Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf künftige Ereignisse.

In Abgrenzung dazu steht der Begriff „Relative Häufigkeit“. Relative Häufigkeiten beziehen sich auf experimentell ermittelte Ergebnisse, adressieren also die Frage: „Wie oft ist dieses oder jenes Ereignis eingetreten?“, ohne unbedingt eine konkrete Theorie über die Eintrittswahrscheinlichkeit bei der Hand zu haben.

Relative Häufigkeit bezieht sich auf zurückliegende Ereignisse.

Oft werden die Begriffe „Wahrscheinlichkeit“ und „relative Häufigkeit“ synonym verwendet.

Der statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff (von-Mises) sieht die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Zufallsereignisses als die relative Häufigkeit, die sich nach unendlich vielen unabhängigen Wiederholungen unter identischen Bedingungen einstellen würde.

Ein paar grundlegende Sätze zu kombinierten unabhängigen Wahrscheinlichkeiten

1. (Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung)

Die Wahrscheinlichkeit , dass von 2 voneinander unabhängigen Ereignissen mindestens eines eintritt, ist gleich der Summe beider Wahrscheinlichkeiten minus dem Produkt beider Wahrscheinlichkeiten.

Das kann man sich anhand zweier sich überschneidender Kreise vorstellen. Bei der Summe beider Wahrscheinlichkeiten wird diejenige Fläche, die von beiden Kreisen überlappt wird, 2 Mal berechnet, folglich muss sie einmal wieder abgezogen werden.

Verallgemeinerungen

1. Bonferroni Ungleichung, oder Boole'sche Ungleichung:

Die Summenwahrscheinlichkeit für das Eintreten einer Gruppe von Ereignissen ist gleich oder kleiner als die Summe der einzelnen Eintrittswahrscheinlickeiten.

2. Bonferroni Ungleichung:

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehrere Ereignisse gleichzeitig eintreten ist gleich oder grösser als Eins minus die Summe der einzelnen Anti-Ereignisse

(Also Eins minus die Summe der einzelnen Nicht-Eintritts-Wahrscheinlichkeiten).

2. (Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung)

Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 voneinander unabhängige Ereignisse gleichzeitig eintreten, ist gleich dem Produkt beider Wahrscheinlichkeiten. Bei abhängigen Ereignissen siehe Bayes'sches Theorem.

Es gibt im Wesentlichen 2 Wahrscheinlichkeitsbegriffe, die für statistische Hypothesentests von Relevanz (also nicht unbedingt richtig!) sind:

- Bayes'scher Wahrscheinlichkeitsbegriff = Sicherheit in der persönlichen Einschätzung eines Sachverhaltes.

  Dieser Wahrscheinlichkeitsbegriff ist umstritten, da jeder Sachverhalt fix vorgegeben ist und sich nicht um persönliche Einschätzungen schert. Trotzdem ist dieser Wahrscheinlichkeitsbegriff in der Praxis verbreitet, vor allem wegen seiner Anschaulichkeit:

  "Mit 90% Wahrscheinlichkeit sind Männer im Schnitt grösser als Frauen"

  In Wirklichkeit ist dieser Sachverhalt fest vorgegeben und nicht Resultat eines Tests, aber:

  "Wenn mein Zahlenmaterial eine Ausprägung annimmt, die so "extrem" ist, wie es aus reinem Zufall nur in 10% aller Fälle eintreten würde, dann gibt mir persönlich das die Sicherheit, dass hier nicht bloss Zufall im Spiel ist".

Diese Sichtweise, so einleuchtend sie erscheinen mag, ist sachlich falsch. Mit diesem Verständnis werden die Ergebnisse von statistischen Hypothesentests unbrauchbar.
Siehe dazu insbesondere den Abschnitt "Anmerkungen zu statistischen Hypothesen" unter statistische Hypothesentests.

- Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff = Wenn die Wirklichkeit so-und-so wäre, dann würde sie sich in der Testwelt mit den-und-den Wahrscheinlichkeiten so-und-so manifestieren.

  Dieser Wahrscheinlichkeitsbegriff ist mathematisch "richtig", aber weniger anschaulich. Dennoch setzen alle statistischen Hypothesentzests an diesem Punkt an:

  "Wenn Männer im Schnitt grösser sind als Frauen, dann wäre das mit 90% Sicherheit bei diesem Test auch tatsächlich so herausgekommen".
  Diese Sichtweise ist richtig, denn genau so sind statistische Hypothesentests gestrickt. Alle Ergebnisse von statistischen Hypothesentests basieren nämlich auf einer zutreffenden Nullhypothese. Siehe dazu insbesondere den Abschnitt "Anmerkungen zu statistischen Hypothesen" unter statistische Hypothesentests.

Unter dem "Klassischen Wahrscheinlichkeitsbegriff" , oder auch "Laplace'scher Wahrscheinlichkeitsbegriff" wird Folgendes verstanden:

{Zahl der günstigen Fälle} / {Zahl der möglichen Fälle}, wobei gilt

- die Anzahl der Elementarereignisse ist endlich,

- genau eines der möglichen Elementarereignisse tritt als Realisation des Zufallsexperimentes ein,

- jedes Elementarereignis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit des Eintretens. (sonst wäre die Formel falsch)

Für den Wahrscheinlichkeitsbegriff von Kolmogoroff siehe Axiom.

Für bedingte Wahrscheinlichkeiten siehe Bayes Theorem.

Siehe auch Null-Eins Gesetz von Kolmogoroff.

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13.03.2006