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Kanonische Korrelation

Kanonische Analyse bzw. Korrelation ist eine verallgemeinerte Form des a llgemeinen linearen Modell s bzw. der multiplen Korrelation.

Im Modell der kanonischen Korrelation wird davon ausgegangen, dass sich eine Linearkombination von gewichteten abhängigen Variablen y durch eine Linearkombination von gewichteten unabhängigen Variablen x beschreiben lässt.

Die Kanonische Korrelation sucht also in beiden Gruppen von Variablen eine Linearkombination mit der Eigenschaft, dass die Korrelation zwischen ihnen maximiert wird. (siehe auch PLS)

yij : i-te Realisierung der j-ten abhängigen Variablen yj,

xik: i-te Realisierung der k-ten unabhängigen Variablen xj,

bk k-ter unbekannter (zu bestimmender) Modell parameter,

ai i-ter unbekannter (zu bestimmender) Modellparameter,

ei i-ter unbekannter Fehler e.

In diesem Beispiel wurden also 4 Messwerte yi der (beiden) abhängigen Variablen y1 und y2 generiert.

Bei jeder der 4 Messungen von y1 und y2 hatten die 3 unabhängigen Variablen xj bestimmte Werte xij inne.

Gesucht sind nun diejenigen Werte der Modellparameter bi und ai , die die abhängigen Variablen y1 und y2 durch die unabhängigen Variablen xj bei möglichst kleinen Fehlern ei erklären.

Die durch die Linearkombination entstandenen Variablen heißen
erste kanonische Variablen.
Die (bivariate) Korrelation zwischen ihnen ist die erste
kanonische Korrelation.

Die kanonischen Variablen werden dann aus den jeweiligen
Variablensätzen herauspartialisiert. Mit den dabei übrigbleibenden
Residuen wird erneut eine kanonische Korrelation berechnet.
Das ist die zweite kanonische Korrelation.

(Auf das, was die erste kanonische Korrelation "übrig gelassen" hat, wird nun die zweite kanonische Korrelation angewendet)

Das wird solange fortgesetzt, bis die neu bestimmten
kanonischen Korrelationen = Null sind oder ein
vorgegebener Variablensatz erschöpft ist.

Man erhält also eine Folge von Koeffizienten:

Die kanonische Korrelation insgesamt ergibt sich dann als: