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Taxiproblem
Das Taxiparadoxon ist ein klassisches Beispiel für falsche Interpretation von Wahrscheinlichkeiten.

In einer Grossstadt wurde ein Verbrechen begangen. Ein Zeuge sagt aus, er habe ein weisses Taxi flüchten sehen.

In der Stadt gibt es 10 weisse und 190 gelbe Taxis.

Der Zeuge möge sich mit 10% Wahrscheinlichkeit irren. Diese Aussage mag den statistisch wenig Bewanderten verwirren, jedoch braucht man sie, um das Problem überhaupt quantitativ in den Griff zu bekommen. Die Polizei geht immer davon aus, dass sich Zeugen irren können.

Es ergeben sich 2 Fragen, deren Antworten alles andere als trivial sind und dem menschlichen Einschätzungsvermögen entgegen stehen:

1.) Welche Farbe hatte das Taxi wahrscheinlich ?

2.) Bei welchen Taxis sollte die Polizei anfangen zu suchen?

Die "paradoxe" Antwort vorweg: Das Taxi war wahrscheinlich gelb, dennoch sollte man bei den weissen Taxis anfangen zu suchen.

Zeugenaussagen sind -ähnlich wie statistische Tests- mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit behaftet.

Wenn also der Zeuge aussagt, es war ein weisses Taxi, dann kann es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auch ein gelbes Taxi gewesen sein.

Nehmen wir an, der Zeuge ist sich "ziemlich sicher" und es war bereits "ziemlich dunkel".

In Polizeikreisen sei bekannt, dass unter solchen Umständen sich ein Zeuge mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% irrt, wie eingangs schon erwähnt.

Folgende Tabelle erläutert die geschilderten Sachverhalte.

Der Zeuge irre sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% | Verteilung der Farben zufällig herausgegriffener Taxis |  | --> In 20 von 29 Fällen, in denen der Zeuge "weiss" behauptet, war es in Wirklichkeit ein gelbes Taxi. --> Behauptet der Zeuge dagegen "gelb", dann war es in 180 von 181 Fällen tatsächlich ein gelbes Taxi.
weiss (10) | gelb (200)
Anzahl Fälle, in denen der Zeuge sagt | "weiss" | 9 | 20 | 29
"gelb" | 1 | 180 | 181
| 10 | 200 |

Es sei nochmal darauf hingewiesen, dass die Einführung von Irrtumswahrscheinlichkeiten das Rätsel nicht akademisch verzerrt, sondern dass dies vielmehr der Wirklichkeit Rechnung trägt, und zur quantitativen Behandlung unumgänglich ist.

Das dahinter stehende statistische Grundproblem wird in diesem Glossar an zwei Stellen etwas ausführlicher behandelt:

Risikoarten bei statistischen Tests, und

Diagnostische Tests.

Antwort zu 1.)

Unter der Annahme, dass der ´Zeuge sich mit 10% Wahrscheinlichkeit irrt und er behauptet, es war ein weisses Taxi, kann man mit 20/29 = 69% Sicherheit davon ausgehen, dass es ein gelbes Taxi gewesen ist.

Antwort zu 2.)

Sucht man zuerst unter den gelben Taxis, dann wird man mit 69 % Wahrscheinlichkeit den Täter finden.

Jedes untersuchte gelbe Taxi wird also mit einer Wahrscheinlichkeit von 69%/200 = 0,345% zum Täter führen.

Sucht man zuerst unter den weissen Taxis, dann wird man mit 31 % Wahrscheinlichkeit den Täter finden.

Jedes untersuchte weisseTaxi wird also mit einer Wahrscheinlichkeit von 31%/10 = 3,1% zum Täter führen.

Es ist also weitaus effektiver, bei den weissen ´Taxis anfangen zu suchen,

obwohl es wahrscheinlich eher ein gelbes Taxi gewesen ist.