# Wilcoxon Mann Whitney Test zum Vergleich von Medianen

## Mit Excel Vorlage und Signifikanztabellen

### Parameterfreie Entsprechung zum t-Test

Ohne Frames

Der Mann Whitney Test entspricht dem t-Test auf Ordinalskala und ist der bekannteste ordinale Test überrhaupt. Er untersucht die Mediane zweier Stichproben auf Unterschied.
Zur Excelvorlage mit Signifikanztabelle.

Der Meyer-Bahlburg Trendtest ist eine Sonderanwendung des Mann Whitney Tests.

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Mann Whitney Test (Wilcoxon Mann Whitney Rangsummen test)

Parameterfreier Test zum Vergleich der Mediane zweier Stichproben auf ordinalem Skalenniveau.

Bekanntester parameterfreie r Test. Parameterfreies Analogon zum t-Test.

> Für das Testpendant bei abhängigen Stichproben siehe Wilcoxon Vorzeichen Rangtest.

Die wesentlichste Voraussetzung für die Anwendbarkeit ist, dass die beiden Stichproben derselben Verteilungs-form unterliegen.

Der Mann Whitney Test funktioniert im wesentlichen so:

1. Die beiden Stichproben werden in einen gemeinsamen Topf geworfen und dann die Einzelwerte in eine auf- (oder absteigende) Reihenfolge gebracht.

2. Jeder Einzelwert bekommt gemäss seiner Position in der Reihenfolge einen Rang zugewiesen. Der erste Rang ist 1, der nächstgrössere (oder kleinere) 2, usw. Bei Gleichheit mehrerer Messwerte wird allen betroffenen Werten ein gemeinsamer mittlerer Rang zugewiesen (siehe Beispiel unten).

3. Die Rangwerte aller Elemente werden für jede der beiden Stichproben gesondert aufsummiert. --> "2 Rangsummen"

4. Berechnung der Teststatistik für beide Rangsummen. Die kleinere ist ausschlaggebend.

Die Schwellenwerte der Teststatistik des Mann-Whitney-Testes sind für kleine Stichprobengrössen tabelliert.

Für grosse Stichproben (ab mindestens 20 je Stichprobe) ist der Erwartungswert µ der Teststatistik asymptotisch normalverteilt:

Mittelwert |  | m,n: Stichprobrengrössen, z: Quantil der Standardnormalverteilung
Standardabweichung |
Die untere Vertrauensgrenze ergibt sich also zu |

Beispiel:

0. Urwerte:

Messreihe_1 | 2 | 4 | 3.5 | 6 | 7 | 9 | 8 | 5
Messreihe_2 | 1 | 3 | 2 | 8 | 4 | 5 | 2 | 2.5

1.+2. Gemeinsame Rangreihe:

Messwert | 1 | 2 | 2 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4 | 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 8 | 9
Rang | 1 | 3 | 3 | 3 | 5 | 6 | 7 | 8.5 | 8.5 | 10.5 | 10.5 | 12 | 13 | 14.5 | 14.5 | 16

3. Rangsummen:

Summe aller Ränge der Messreihe 2 | 1+3+3+5+6+8.5+10.5+14.5 | = 51.5
Summe aller Ränge der Messreihe 1 | 3+7+8.5+10.5+12+13+14.5+16 | = 84.5

4. Berechnung der Teststatistik.

| Messreihe 2 | Messreihe 1
Anzahl Messwerte | n = 8 | m = 8
Rangsumme | 51.5 | 84.5
Berechnungsformel | = 48.5 | = 15.5
Teststatistik | Kleinerer der beiden Werte: 15.5 --> Dies reicht laut Tabellen für ein Signifikanzniveau von 90% aus.

Die Tatsache, dass das Ergebnis für 90% Signifikanzniveau ausreicht, wurde dem Tabellenblatt "U alpha 10%" dieser Exceldatei entnommen.

Dort steht für n=m=8 der Wert 19. Dies ist grösser als 15,5 --> Signifikant zum Niveau 90%.

In der selben Exceldatei befindet sich ausserdem eine Berechnung des Mann Whitney Tests´.

Anmerkungen

Bei Rangbindung liefert die zuvor beschriebene Prozedur konservative Resultate.

Für genaue Resultate ist folgende ( nur bei hinreichend grossen Stichproben) Korrektur vorzunehmen:

Anstelle der oben beschriebenen Standardabweichung

ist nun der folgende Ausdruck zu nehmen:

, wobei

N: =m+n, Gesamtgrösse beider Stichproben

ti: Länge der i-ten Rangbindungsgruppe (Anzahl Werte mit gleicher Rangziffer i).

Der Mann-Whitney Test für Paardifferenzen ist das nonparametrische Pendant zum t-Test für verbundene Stichproben.

Dieser Test funktioniert rechnerisch genau gleich wie der "normale" Mann-Whitney Test, nur bilden hier die negativen und positiven Paardifferenzen jeweils eine Gruppe. Siehe hierzu Wilcoxon Vorzeichen Rangtest.

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27.08.2005