# Vertrauensintervall der MTBF bei gegebener Testdauer

## Warum Chi Quadrat Verteilung

Ohne Frames
In einschlägiger Literatur über Zuverlässigkeitsberechnungen findet man eine Chi Quadrat Formel, die aus kumulierter Testdauer und Anzahl festgestellter Ausfälle eine MTBF berechnet.
Der Knackpunkt ist, dass die hier verwendete spezielle Chi Quadrat Verteilung lediglich eine andere Darstellung der Gammaverteilung ist.
Und die Gammaverteilung ist ja bekanntlich "zuständig" für die Verteilung der Zeit bis zum so-und-so-vielten Ausfall.

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Wie kommt es zu der Formel

bzw.

für die Berechnung der Vertrauensintervalle der Fehlerrate bzw. MTBF bei exponentialverteilter Zufallsvariable?

Dazu muss man etwas weiter ausholen.

Exponentialverteilung, Poissonverteilung und Gammaverteilung stehen in Beziehung zueinander:

Gegeben seien unabhängig identisch exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter l. (= homogener Poisson Prozess).

Dann gilt:

- Die Gammaverteilung mit Formparameter k und Skalenparameter l beschreibt die Verteilung der Zeit bis zum k-ten Ereignis.

- Die Poissonverteilung beschreibt die Verteilung der Anzahl Ereignisse in einem gegebenen Zeitfenster.

Diese beiden Sachverhalte sind hier etwas genauer beschrieben. Im Folgenden brauchen wir aber nur den ersten Sachverhalt.

Der zweite Sachverhalt führt jedoch zum Konfidenzintervall der Poissonverteilung. Die Kumulierte Testdauer dividiert durch die MTBF ist ja nichts anderes als die Anzahl festgestellter Ausfälle während der Testzeit, und diese ist ja poissonverteilt !

Wenn die Gammaverteilung die Verteilung der Zeit bis zum k-ten Ereignis beschreibt, dann beschreibt sie bei entsprechender Umskalierung auch die Verteilung der Zeit zwischen 2 Ereignissen.

Die aus dem Testergebnis geschätzte Fehlerrate Lambda wird nun als "wahre" Fehlerrate aufgefasst und daraus mittels der Gammaverteilung die Verteilung der Zeit zwischen 2 Ereignissen berechnet. Der Kehrwert hiervon liefert die Verteilung von Lambda um das "für wahr erklärte" Lambda.

> Zu Beachten ist hier, dass man auf dem aus dem Testergebnis erhaltenen Lambda aufbaut. Man tut so, als sei dies das "wahre" lambda, und

> geht hier das Risiko ein, dass dieses lambda unter Umständen "daneben" liegen kann.

> Das ist jedoch ein generelles Problem bei der Berechnung von Vertrauensintervallen, da man ja als einzige Information über die "wahreWelt" (das aus dem Test ermittelte Lambda) nur das Testergebnis hat.

> Man muss sich jedoch vor Augen halten, dass dieser Sachverhalt für die reine Punktschätzung (Weglassen der Vertrauensintervalle) genauso zutrifft.

> Die Vertrauensintervalle mildern die Auswirkungen dieses Sachverhalts jedoch stark ab.

> Aus diesem Grund ist die gesamte Betrachtung eine Näherung.

> Das gilt auch für noch so aufwendige Simulationsverfahren.

> > Exkurs: Simulationsverfahren

> > Die Vorgehensweise bei Simulationsverfahren wäre wie folgt:

> > Man fragt sich, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein vorher festgelegtes lambda genau das erhaltene Testergebnis liefern würde.

> > Diesen Gedankengang wiederholt man sehr oft für einen grossen Wertebereich von Lambda.

> > Die Summe der so ermittelten Wahrscheinlichkeiten normiert man zu lambda.

> > Schliesslich erhält man als Vertrauensintervall für Lambda einen zusammenhängenden Bereich von l, bei dem die Summe der normierten Wahrscheinlichkeiten beispielsweise 90% beträgt.

Man könnte nun auf die Quantile a der Gammaverteilung zurückgreifen und bekäme das Vertrauensintervall von lambda, etwa in der Form:

Wie kommt es aber zu der Chi Quadrat Verteilung?

Die Dichtefunktion der Gammaverteilung (in der Schreibweise der Erlangverteilung) lautet:

, mit .

Aus der Trickkiste der höheren Mathematik ergibt sich ohne weiteren Beweis, dass die Chi Quadrat Verteilung mit n Freiheitsgraden durch die Gammaverteilung darstellbar ist, und zwar indem man k durch n/2, lambda durch 1/2 ersetzt:

. Wenn man nun k statt n/2 schreibt, so ergibt sich:

Letzteres ist genau die Dichtefunktion der Gammaverteilung in dem hier vorliegenden Fall, allerdings ist der (lineare) Skalenparameter l fest auf 1/2.

Die Festlegung von lambda auf 1/2 wird durch die Faktoren "2" und "Ausfallrate" im rechten Teil der Gleichung skalentechnisch wieder zu lambda.

Die Chi Quadrat Verteilung und der Rest der Gleichung werden also derart skaliert, dass alles wieder zusammenpasst.

Der Umweg über die Chi Quadrat Verteilung wird deshalb gemacht, weil die Chi Quadrat Verteilung historisch gesehen schon lange tabelliert vorliegt und entsprechend verbreitet ist.

Eine zur bisher beschriebenen Methode alternative Methode für den (häufigen!) Spezialfall Null Ausfälle heisst Erfolgslaufmethode und wird in dieser Exceldatei erklärt: Erfolgslaufmethode.

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05.08.2006