Tests auf Autokorrelation
Durbin Watson Test, Durbin h-Statistik, Ljung Box Test
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Autokorrelation bedeutet Korrelation mit sich selbst. Hier werden ein paar Tests beschrieben, mit denen man Autokorrelation nachweisen kann.

In der Statistik ist Autokorrelation meistens nicht erwünscht; in der Elektrotechnik und Physik dagegen wird sie meistens bewusst herbeigeführt.

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Im Folgenden werden Tests beschrieben, die zur Entdeckung von Autokorrelation dienen.

- Durbin Watson Test Testet die Autokorrelation der Residuen der Zeitreihenwerte mit dem ersten Lag.

- Durbin h-Statistik Testet die Autokorrelation der Zeitreihenwerte mit dem ersten Lag.

- Ljung Box Test Testet alle Lags auf einmal.

Diese Tests sind dann angebracht, wenn

- über Zeitreihen ein Regressionsmodell gelegt wird (dann sind Autokorrelationen unerwünscht)

  - Autokorrelieren nämlich eine oder mehrere Reihen, dann sind die durch Regressionsrechnung erhaltenen Ergebnisse fragwürdig.

- ein ARIMA Modell entwickelt wird (dann sind Autokorrelationen erwünscht)

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Durbin Watson Test

Der Durbin Watson Test testet "nur" auf Autokorrelation erster Ordnung, d.h, ob die Werte einer Reihe von den jeweiligen unmittelbaren Vorgängern geprägt sind.

Der Test wird mit den Residuen, also nach erfolgtem Regressionsmodell durchgeführt.

Die Residuen sind nach dem Regressionsmodell "übriggebliebene" Störgrössen oder Zufallseinflüsse der Ausgangsvariablen.

Folglich ist dieser Test aussagelos hinsichtlich Autokorrelation der Ausgangsvariablen.

Siehe hierzu Durbin h-Statistik oder Ljung Box Test.

Die Prüfgrösse lautet:

| r sind die Residuen nach erfolgter Regression. d kann Werte zwischen 0 und 4 annehmen.
Kritische Werte von d liegen für mehrere Signifikanzniveaus tabelliert weiter unten vor. Die Nullhypothese lautet: "Korrelationskoeffizient der Autokorrelation erster Ordnung = 0" Falls d <dl : Nullhypothese ablehnen. Falls d >du : Nullhypothese kannn icht verworfen werden. Falls d zwischen dl und du : Keine Entscheidung möglich. Der Indifferenzbereich rührt daher, dass dieser Test keine weitreichenden Annahmen über die zugrundegelegte Verteilungsfunktion macht.

- Die folgende Tabelle bezieht sich auf positive Autokorrelation.
- Bei Werten der Prüfgrösse von deutlich über 2 kann man anstelle d mit 4-d nach linksstehender Tabelle auf negative Autokorrelation testen (sehr selten)
- k: Anzahl der unabhängigen Variablen im Regressionsmodell
  - Bei einer Regression einer einzigen abhängigen Variablen X auf die unabhängige Variable Y ist k =1
- Sample Size: Anzahl Werte EINER unabhängigen Variablen
  - Bei einer Regression einer einzigen abhängigen Variablen X auf die unabhängige Variable Y ist das = der Anzahl Werte von X
- Lower Tail Significance Level: Alpha Risiko, d.h.: die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen.
- Die d-Werte in linksstehender Tabelle driften mit der Anzahl k unabhängiger Variablen auseinander, die Indifferenzzone nimmt also zu.
  - Je mehr unabhängigeVariablen beteiligt sind, desto weniger Autokorrelation wird "geduldet".
  - Der Test ist auf alle beteiligten unabhängigen Variablen nacheinander anzuwenden.

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21.08.2005

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Durbin h-Statistik

Dieser Test testet "nur" auf Autokorrelation erster Ordnung, d.h, ob die Werte einer Reihe von den jeweiligen unmittelbaren Vorgängern geprägt sind.

Für den Test von mehr als nur erster Ordnung siehe Ljung-Box Test.

Durbin h-Statistik testet im Gegensatz zum Durbin Watson Test auf Autokorrelation der unabhängigen Variablen selbst, nicht ihrer Residuen (Korrelation der Originalreihe mit ihren Lags)

Die Nullhypothese lautet:

"Korrelationskoeffizient der Autokorrelation erster Ordnung = 0"

Die Prüfgrösse lautet

| = Durbin Watson Statistik n: =Anzahl Messwerte der betrachteten unabhängigenVariablen s2 := Varianz des Steigungsparameters der betrachteten unabhängigen Variablen im Regressionsmodell. Die Varianz ergibt sich aus dem Regressionsmodell. (Intervallschätzung des Steigungsparameters).
h ist approximativ standardnormalverteilt Das (zweiseitige) Signifikanzniveau für h kann man zB. mittels folgender Excelformel leicht berechnen: STANDNORMVERT(h) Die Steigung geht deshalb mit ein, da sie ja stark zur Autokorrelation beitragen würde.

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21.08.2005

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Ljung Box Test

Dieser Test testet gleichzeitig auf Autokorrelation beliebig vieler (k) Ordnungen, d.h, ob die Werte einer Reihe von den jeweiligen k Vorgängern geprägt sind (Also ein Omnibus Test).

Für Tests bis "nur" erster Ordnung siehe Durbin Watson Test und Durbin h-Statistik.

Die Nullhypothese lautet:

"Alle Korrelationskoeffizienten der Autokorrelation bis k-ter Ordnung = 0"

Die Prüfgrösse lautet

Q ist Chi Quadrat verteilt mit k Freiheitsgraden. Das Signifikanzniveau für Q kann man zB. mittels folgender Excel formel leicht berechnen: 1-CHIVERT(Q;k) | ri ist der Korrelationskoeffizient der Originalreihe mit ihrem i-ten Lag. n ist die Anzahl Werte der Wertereihe k: Der Test testet die ersten k Lags gleichzeitig.

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21.08.2005