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Kerndichteschätzung

Verfahren zur Bestimmung der hinter einer gegebenen Stichprobe stehenden Verteilungsdichtefunktion, wobei die explizite Natur der Verteilungsdichtefunktion nicht im Fokus steht.

Zu verstehen als: "Schätzung der Verteilungsdichtefunktion mit Hilfe eines Kernes".

(Siehe auch Schätzen)

Vereinfacht und bildlich ausgedrückt:

Man denkt sich die Stichprobe des Umfanges n auf der Skala so abgebildet, dass jeder Wert durch einen Punkt dargestellt wird.

Nun wählt man eine eingipfelige Modellfunktion (Kern) und legt diese derart über alle einzelnen Punkte, dass die "Höcker" genau über den Punkten zu liegen kommen.

Jetzt hat man ein Schaubild vorliegen, in dem n "Höcker" eingezeichnet sind.

Schliesslich addiert man alles auf und skaliert so, dass die resultierende Funktion den Flächeninhalt 1 hat.

Die ursprünglichen "Höcker" verschmieren somit zu einer mehr oder weniger glatten Funktion, die man Kerndichteschätzer nennt.

Die resultierende Funktion ist eine Summe aus n Gliedern, die keinen direkten Schluss auf eine "bekannte" Verteilungsfunktion zulässt. Das ist aber auch nicht Ziel dieser Methode.

Etwas formeller ausgedrückt:

Die Stichprobe bestehe aus den Werten x1, x2,...., xn

Die Funktion

ist die Kerndichteschätzung der hinter der Stichprobe stehenden (zu ermittelnden) Verteilungsdichtefunktion.

"Kern" kann im Prinzip irgendeine eingipfelige Verteilungsdichtefunktion sein, vorzugsweise jedoch eine mathematisch leicht handhabbare, die ausserdem noch die Bedingung Integral[KERN(t)] =1 erfüllen muss.

d ist ein Skalierungsfaktor, der zur Modellanpassung dient.

Für "geschickt" gewähltes d und n --> oo konvergiert f(t) immer " fast sicher" gegen die unbekannte Verteilungsdichtefunktion.

Oft verwendete Kerne sind zum Beispiel die Dichtefunktion der Standard- Normalverteilung, oder die Dichtefunktion der t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad (dann auch Cauchyverteilung genannt).