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# t-Test für Mittelwertsvergleiche

Allgemein ein statistischer Test, der auf die t-Verteilung zurückgreift.

Im Sprachgebrauch jedoch ein Test zum Vergleich zweier Mittelwerte auf kardinalem Skalenniveau bei unbekannter Varianz.

Bei bekannter Varianz siehe Gauss Test.

- t-Test: Parametrischer Mittelwertvergleich für 2 unabhängige Stichproben

- Welch-Test: Parametrischer Mittelwertvergleich für 2 abhängige Stichproben

- Mann Whitney Test: Nonparametrischer Mittelwertvergleich für 2 unabhängige Stichproben

- Wilcoxon Vorzeichen Rangtest: Nonparametrischer Mittelwertvergleich für 2 abhängige Stichproben

Es existieren 3 Varianten:

1. Mittelwertsvergleich 2er Stichproben mit gleich angenommenen Varianz en

2. Mittelwertsvergleich 2er Stichproben mit unterschiedlich angenommenen Varianzen (auch Welch Test genannt)

3. Mittelwertsvergleich 2er verbundener Stichproben mit gleich angenommenen (unbekannten) Varianzen

   (=Einstichproben t-Test der Differenzen auf Mittelwert Null)

Ob die Varianzen als gleich oder unterschiedlich betrachtet werden, muss mittels anderer Methoden entschieden werden.

Eine anschauliche Einführung in die Funktionsweise des t-Tests befindet sich hier.

Wesentliche Voraussetzung ist, dass die Daten normalverteilt sind.

(Allerdings ist dieser Test robust gegen leichte Verletzungen dieser Annahme)

Die Prüfgrösse ist je nach Art des Tests t-verteilt mit einer Anzahl Freiheitsgrade f

Unterschiedliche Varianzen | Gleiche Varianzen | Verbundene Stichproben
Anmerkung: Varianzen addieren sich einfach |  |  | D: Mittelwert der Paardifferenzen SD: Standardabweichung der Paardifferenzen. Dieser Test ist im Prinzip ein t-Test einer Stichprobe gegen eine zweite mit dem Mittelwert Null und der selben Standardabweichung.
| Mit und f = (n1 + n2- 2) | f = n-1
f: Anzahl Freiheitsgrade

Anmerkung zu "gleiche Varianzen": Die beiden Stichproben mögen zwar unterschiedliche Varianzen ergeben, man "weiss" aber, dass sie nur zufällig streuen und eigentlich gleich sind. Deshalb poolt man die beiden Varianzen S1 und S2 zu einer gemeinsamen Varianz S.

Wären die Varianzen (bzw. Standardabweichungen) bekannt, dann lautete die Formel für unabhängige Stichproben

, bzw. für abhängige Stichproben:

Im Fall für abhängige Stichproben ist sD die Standardabweichung der Paardifferenzen , µ1 der Mittelwert der Paardifferenzen und µ2 derjenige Wert, gegen den µ1 getestet werden soll.

Die Prüfgrösse Z ist standardnormalverteilt (--> Gausstest)

Beispiel (unverbundene Stichproben, gleiche, aber unbekannte Varianzen ->t-Test)

1.) Urwerte

Reihe_1 | 2 | 9 | 17 | 12 | 3 | 14 | 16 | 8 | 7 | 10
Reihe_2 | 3 | 9 | 8 | 12 | 19 | 16 | 13 | 17 | 12 | --

Nullhypothese: Beide Wertereihen haben den selben Mittelwert.

2.) Berechnung von Mittelwert, Standardabweichung und Anzahl Freiheitsgraden

| Reihe_1 | Reihe_2 | Gesamt
(arithmetischer) Mittelwert | 9.80 | 12.11 |
Standardabweichung | 5.07 | 4.96 | 5.02
Anzahl Freiheitsgrade | 9 | 8 | 17

3.)Berechnung der Prüfgrösse

t = 3.08

--> Das Alpha Risiko liegt bei 0,34%, das Signifikanzniveau (bei einseitigem Test) bei 99,66%.

Die Nullhypothese kann also zum Alpha Risiko von beispielsweise 99% verworfen werden.

Das Signifikanzniveau wurde mit der Excelfunktion 1-TVERT(3,08;17;1) berechnet. Die letzte "1" steht für "einseitiger Test"

Für eine Berechnung des t-Tests in Excel in allen 3 oben genannten Varianten siehe das Arbeitsblatt "t test" dieser Exceldatei.

Anmerkung:

In der bisher beschriebenen Form wird die Nullhypothese

"Die Mittelwerte sind verschieden" getestet.

Möchte man dagegen auf eine bestimmte Differenz testen, beispielsweise:

"Mittelwert 2 ist um 2,5 grösser als Mittelwert 1",

dann verschiebt man Stichprobe 2 um 2,5 nach links und testet nun die Nullhypothese

"Die Mittelwerte sind verschieden", verfährt also wie oben beschrieben.