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Null-Eins-Gesetz von Kolmogoroff

Hier der Versuch einer anschaulichen Erklärung.

Zunächst zum Begriff "Tail Event" (Schwanzereignis? Der Verfasser kennt leider keine deutsche Entsprechung)

Man denke sich eine unendliche Reihe unabhäng iger Zufallsvariablen.

(Diese müssen nicht unbedingt gleichartig verteilt sein)

Weiterhin stelle man sich vor, dass man an dieser Reihe entlanggeht und die Realisierungen der Zufallsvariablen nach und nach beobachtet. Man sieht quasi, wie sich die Reihe entwickelt.

Ein Tail Event ist ein Ereignis mit den folgenden Eigenschaften:

- das Eintreten wird vom Fortschritt der unendlichen Reihe beeinflusst, das heisst, der Eintritt (nicht die Eintrittswahrscheinlichkeit) wird vom Verlauf der unendlichen Reihe beeinflusst.

  - Man befinde sich am 23. Glied der Reihe, das Ereignis sei noch nicht eingetreten. Nun wartet man bis zum 25. Glied. Das "erwartete" Ereignis hatte vom 23. bis zum 25 Glied der Reihe 2 Gelegenheiten, einzutreten. Unabhängig davon, ob dies geschehen ist oder nicht kann man sagen, dass das Eintreten des Ereignisses durch das 24. und 25. Reihenglied beeinflusst wurde, da es zweimal die Chance zum Eintreten bekam.

- die Eintritts wahrscheinlichkeit ist unabhängig davon, wieviel von der Reihe bereits eingetreten ist, das heisst, die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Tail Events ist unabhängig davon, wie viele der Zufallsvariablen der unendlichen Reihe sich bereits realisiert haben.

Die zuvor genannten Punkte sind eine Analogie zur konstanten Ausfallrate in der Zuverlässigkeitstechnik, wonach die Ausfallwahrscheinlichkeit nicht von der Vorgeschichte abhängt, wohl aber der Eintritt eines Ausfalls.

Das Ereignis "Ausfall" ist also ein Tail Event.

Weitere Beispiele für Tail Events:

- "Sechser im Lotto"

  Je öfter man spielt, desto mehr Chancen hat man, zu gewinnen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt hingegen immer gleich, unabhängig davon, wie oft man gespielt hat.

- Das berühmte "Unendliche-Affen-Problem"

  Eine Gruppe von Affen tippt wahllos auf Schreibmaschinen herum. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Affe nach gegebener Zeit die Buchstabenfolge "S t a t i s t i k" getippt hat?

Fragt man bei den 3 zuvor genannten Beispielen nach der Wahrscheinlichkeit des Eintretens nach unendlich vielen Wiederholungen, dann kommt man intuitiv auf den Wert EINS:

- Ein Gerät kann nach unendlich vielen Betriebsstunden unmöglich nicht ausgefallen sein, sofern es überhaupt eine von Null verschiedene Ausfallwahrscheinlichkeit besitzt.

- nach unendlich vielen Lottospielen ist es unwahrscheinlich, keinen Sechser getippt zu haben, vorausgesetzt, die Gewinnchance für einen Sechser ist überhaupt grösser als Null,

- nach hinreichend langer Zeit wird gewiss ein Affe einmal die Buchstabenfolge "S t a t i s t i k" getippt haben, sofern diese Kombination nicht bereits von Vorne herein ausgeschlossen werden kann.

Kehrt man bei allen 3 zuvor genannten Beispielen die Fragestellung um, etwa "Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, nach unendlich vielen Spielen KEINEN Sechser getippt zu haben, so kommt man intuitiv auf den Wert NULL.

Also: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Tail Event nach unendlich vielen Versuchen eintritt, kann nur Null oder Eins betragen. Es sind keine Zwischenwerte möglich.