Zur Hauptseite ../../ | Zur Glossarseite ../ | Zu Paradoxa ../ Ohne Frames

Ziegenproblem

Folgendes Rätsel gibt es in mehreren Varianten.

Ein Spieler steht vor 3 Türen. Hinter 2 Türen befindet sich eine (relativ wertlose) Ziege, hinter der übrigen Tür ein (teures) Auto. Der Spieler muss sich vorläufig für eine Tür entscheiden. Der allwissende Spielleiter nimmt die Entscheidung zur Kenntnis und öffnet daraufhin eine Tür, die folgende Kriterien erfüllt:

- Hinter der Tür befindet sich nicht das Auto,

- Es ist nicht die Tür, die der Spieler ausgewählt hat.

Der Spieler sieht nun 2 geschlossene Türen, wobei eine davon die von ihm gewählte ist, und eine offene Tür mit einer Ziege.

Für den Spieler, der auf das Auto erpicht ist, gibt es also noch 2 Möglichkeiten. Der Spielleiter bietet dem Spieler nun an, entweder die gewählte Tür beizubehalten, oder sich für die andere Tür zu entscheiden.

Das Rätsel lautet nun:

> "Welches ist die bessere Strategie, Wechseln oder nicht Wechseln?"

Eindeutige Lösung: Wechseln ist die bessere Strategie.

Erklärung: Im ersten Schritt wird der Spieler mit der Wahrscheinlichkeit P=2/3 sich für eine Tür entscheiden, hinter der eine Ziege steht. Der Spielleiter wird daraufhin die andere Ziegentür öffnen. Das Auto kann demnach nur noch hinter der dritten Tür stehen. Unter der genannten Anfangsbedingung (Spieler entscheidet sich im ersten Schritt für eine Ziegentür) führt die Strategie "Wechseln" im zweiten Schritt also mit 100% Sicherheit zum Auto. Hat sich der Spieler jedoch im ersten Schritt für die Tür zum Auto entschieden (P=1/3), so führt die Strategie "Wechseln" im zweiten Schritt demnach mit 100% Sicherheit zu einer Ziege. Insgesamt gewinnt man also mit der Wahrscheinlichkeit P= 2/3 das Auto, wenn man im 2. Schritt wechselt.

Man kann es auch so sehen:

Der allwissende Spielleiter hat in 2/3 aller Fälle überhaupt keine Wahlmöglichkeit, denn in 2/3 der Fälle befindet sich hinter einer der beiden Türen, die ihm zum Öffnen zur Verfügung stehen, das Auto. Die dritte Tür, für die sich der Spieler entschieden hat, darf er ja nicht öffnen.

--> Der Spielleiter wird also in 2/3 aller Fälle genau die Tür verschlossen lassen, hinter der sich das Auto befindet.

Nochmal anders:

In 1/3 aller Fälle wählt der Spieler diejenige Tür mit dem Auto.

Hier ist es egal, was der Spielleiter macht. Wenn der Spieler jetzt wechselt, verliert er das Auto auf jeden Fall. Dies pasiert aber nur in 1/3 aller Fälle.