Neumann Trendtest bei Wertereihen
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Neumann Trendtest

Siehe insbesondere die Anmerkungen am Ende dieser Rubrik. Der Verfasser meint, einen Fehler gefunden zu haben.

Dieser Test untersucht eine zeitlich geordnete Wertereihe nach einem Trend.

Prüfgrösse ist der Quotient aus sukzessiver Differenzstreuung und der Varianz.

Die sukzessive Differenzstreuung D2 ist die

[Summe der quadrierten Differenzquadrate aller benachbarter Werte] / [Anzahl Freiheitsgrade]:

, n-1: Freiheitsgrade (n=Anzahl Werte x)

Der Erwartungswert von D2 liegt bei 2.

Für Stichprobenumfänge < 60 liegen tabellierte Werte vor. (Siehe unten).

Für n> 60 gilt folgende approximative Formel:

Wenn kleiner oder gleich dem kritischen Wert ,

dann liegt ein Trend zum Signifikanzniveau (1-a) vor.

Hierbei ist Z die von minus unendlich bis (1-a) kumulierte Fläche der Standardnormalverteilung.

Die Excelformel für Z lautet beispielsweise für (1-a) = 99%

STANDNORMINV(0.99) = 2,326

Beispiel

1.)

Urwerte

n = 30

Per Augenmass ist ein steigender Trend vorhanden

2.)

Sukzessive Differenzstreuung : 31,83

Varianz: 26,44

Prüfgrösse:

31,83 / 26,44 = 1,20

Kritischer Wert für (1-a) = 99%:

= 1,59

Da 1,20 < 1,59, kann die Trendhypothese zum Signifikanzniveau 99% nicht verworfen werden.

Hinweise zur Tabelle:

Bei n=25 für P=95% muss es 1,3671 statt 0,3671 heissen.

Bei n=6 für P=99% muss es 0,5815 statt 0,5615 heissen.

n ist der Stichprobenumfang.

Eine Excelversion des Neumann Trendtests befindet sich hier.

Anmerkung:

Die approximative Formel wird in sämtlichen, dem Verfasser zugänglichen Quellen mit angegeben.

Der Verfasser hat im Grenzbereich n ~ 60 die Tabellenwerte mit den Werten verglichen, die man mit der approximativen Formel erhält.

Dabei wurde festgestellt, dass die approximative Formel für Stichprobenumfänge um 60 eine ziemlich schlechte Näherung ist. Genaugenommen ist die Approximationsformel sehr l iberal, d.h.: Der Test entscheidet vorschnell zugunsten Signifikanz.

Nach einigem Probieren gelangt der Verfasser zu der Ansicht, dass

- die Formel für kein n glaubhafte Werte liefert, die Formel also einen Fehler enthalten muss,

- eine leichte Modifikation der Formel, nämlich , erstaunlich gute Übereinstimmung mit den Tabellenwerten im Bereich n=60 liefert:

n | p[%] | Tabellenwert | Approximative Formel | Modifizierte approximative Formel
60 | 95 | 1,5814 | 1,7912 | 1,5824
60 | 99 | 1,4144 | 1,7047 | 1,4094
60 | 99,9 | 1,2349 | 1,6077 | 1,2154

Auch für deutlich kleinere n als 60 zeigt die modifizierte Formel glaubhafte Übereinstimmung mit den Tabellenwerten.

Da sich die modifizierte approximative Formel optisch kaum von der approximativen Formel unterscheidet, nimmt der Verfasser ohne weiteren Beweis an, dass es sich um einen allgemeinen Schreibfehler in allen untersuchten Literaturquellen handeln muss.

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28.08.2005