# Lehmacher Marginalhomogenitätstest und Bowkers Symmetrietest Beispiel

## McNemartest für mehr als 2 Stufen

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Hier geht es um den Bowker Test und den Lehmacher Test. Diese Tests ähneln dem McNemar Test und werden zur Analyse von Stimmenverhältnissen und Wechselwählern verwendet.

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Lehmacher's Marginalhomogenitätstest

Erweiterung des McNemar Tests auf mehr als 2 Stufen.

Beispiel Lehmacher Test:

Untersuchung des Verhaltens von Wählern bei der Kommunalwahl einer kleinen Gemeinde.

Im Gegensatz zum Bowker Test werden hier nur die Stimmenverhältnisse in 2 Wahlen betrachtet, nicht die Wechselwähler.

1.) Originaldaten

| Wahl 2000 | Zeilensummen
Partei A | Partei B | Partei C | Partei D
Wahl 2004 | Partei A | 400 | 40 | 20 | 10 | 470
Partei B | 50 | 300 | 60 | 20 | 400
Partei C | 10 | 40 | 120 | 5 | 175
Partei D | 5 | 90 | 50 | 80 | 225
Spaltensummen | 465 | 470 | 250 | 115 | 900
Beispielsweise bedeutet: "470" , dass 470 Wähler 2004 die Partei A gewählt haben. "465" , dass 465 Wähler 2000 die Partei A gewählt haben. Die Diagonalelemente stehen für die Wähler, die bei beiden Wahlen die selbe Partei gewählt haben.

Nullhypothese: "Die Wahlergebnisse 2000 und 2004 sind gleich"

Für diesen Test sind nur die Randhäufigkeiten und die Diagonalelemente von Bedeutung, das heisst, es werden nicht die Wählerströme (dazu unten Bowker's Test) untersucht, sondern "nur", ob sich das gesamte Wahlergebnis überzufällig geändert hat.

2.)

Berechnen der Prüfgrössen für alle Parteien.

Für jede Partei wird eine eigene Prüfgrösse berechnet.

| X2: Prüfgrösse. Die Prüfgrösse ist Chi Quadrat verteilt mit 1 Freiheitsgrad. Beobi,vorher: Beobachtete Stimmenzahl der i-ten Partei bei der vorherigen Wahl (Spaltensummen) Beobi,nachher: Beobachtete Stimmenzahl der i-ten Partei bei der nachherig. Wahl (Zeilensummen) Diagonalelementi,i: Beobachtete Stimmenzahl derjeniger Wähler, die sowohl vorher als auch nachher die i-te Partei gewählt haben.

Für Partei A ergibt sich folgende Prüfgrösse:

Entsprechend ergeben sich für dalle Parteien die folgenden Prüfgrössen.

Partei | A | Partei B | Partei C | Partei D
Prüfgrösse | 0.185 | 18.15 | 30.41 | 67.22
Signifikanzniveau | 33.29 % | 99.998 % | 99.999997 % | ~100%

Die Signifikanzniveaus wurden mit der Excelfunktion [1-CHIVERT(Prüfgrösse,1)] berechnet.

Die Nullhypothese muss also für die Parteien B,C und D bei gefordertem Signifikanzniveau von beispielsweise 95% verworfen werden.

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21.08.2005

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Bowker's Symmetrietest.

Erweiterung des McNemar Tests auf mehr als 2 Stufen.

Beispiel Bowkers Symmetrietest:

Untersuchung des Verhaltens von Wählern bei der Kommunalwahl einer kleinen Gemeinde.

Im Gegensatz zum Lehmacher Test (siehe oben) werden hier jedoch die Wechselwähler analysiert, nicht nur die Stimmenverhältnisse.

1.) Originaldaten (wie im Lehmacher Test Beispiel)

| Wahl 2000 | Zeilensummen
Partei A | Partei B | Partei C | Partei D
Wahl 2004 | Partei A | 400 | 40 | 20 | 10 | 470
Partei B | 50 | 300 | 60 | 20 | 400
Partei C | 10 | 40 | 120 | 5 | 175
Partei D | 5 | 90 | 50 | 80 | 225
Spaltensummen | 465 | 470 | 250 | 115 | 900
Beispielsweise bedeutet: "50" , dass 50 Wähler 2000 die Partei A, 2004 jedoch B gewählt haben.

Nullhypothese: "Die Wählerströme sind zwischen allen Parteien symmetrisch", also z.B: Es sind genauso viele Wähler von B nach A übergewechselt wie von A nach B, usw. (Symmetrie)

Hier sind also nur die Nicht-Diagonalelemente von Interesse, die fettgedruckten Diagonalelemente dagegen nicht.

2.)

Berechnen der Prüfgrössen.

| Jede i,j-Paarung ist nur einmal zu verwenden. X2: Prüfgrösse. Die Prüfgrösse ist Chi Quadrat verteilt mit [k*(k-1)/2] Freiheitsgrad en. k: Dimensionalität der quadratischen k*k Feldertafel. Für k=2 ergibt sich der McNemar Test.

Die Prüfgrösse berechnet sich in diesem Beispiel zu

=1.11 + 3.33 + 1.67 + 4.00 + 44.55 + 36.82 = 91.48 Die Dimensionalität der Tafel ist 4*4. -> Anzahl Freiheitsgrade 4*3/2=6. | Der erste der 6 Summanden repräsentiert die Wählerströme A->B und B->A, der 2. Summand die Wählerströme A->C und C->A, usw.

Mit der Excelfunktion [1-CHIVERT(Prüfgrösse,6)] ergibt sich ein Signifikanzniveau, welches so nahe bei 100% liegt, dass es mit der Excelfunktion nicht mehr aufgelöst darstellbar ist: 100%.

Die B<->D und C<->D Ströme sind es, die mit Abstand die grössten Chi Quadrat Anteile beisteuern, was man bereits aus den Originaldaten ersieht.

Anstatt alle Nichtdiagonal-Felder gleichzeitig zu testen kann man auch jede Einzelpaarung getrennt testen (Also A->B mit B->A, oder A->C mit C->A, usw.). Wenn man jedoch keine feldspezifische Hypothese formuliert (also jede Paarung gleich behandelt), muss das Signifikanzniveau nach Bonferroni korrigiert werden.

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21.08.2005