Zur Hauptseite ..\ | zur Glossarseite Ohne Frames

# Design of Experiments, eine kurze Einführung

Bei Design of Experiments, auch DoE oder statistische Versuchsplanung genannt, Taguchi, Shainin, Messsystem Analyse usw. handelt es sich um speziell zugeschnittene Varianzanalysen, ANOVA.
Design of Experiments kommt im industriellen Umfeld zum Einsatz und hat die Besonderheit, den eigentlich notwendigen mathematischen Umfang mittels fachlicher Einschätzungen zu minimieren: Man testet nicht alle Kombinationen, sondern nur wenige speziell ausgesuchte, bei denen die Sachlage sich dem gegenwärtig vorhandenem Fachwissen entzieht.
Bei Design of Experiments hat sich inzwischen eine Fülle von Verfahrensweisen etabliert, die alle jeweils bestimmte Sachverhalte hervorheben, natürlich auf Kosten anderer Sachverhalte (die im konkreten Anwendungsfall dann technisch allerdings wenig Relevanz haben sollten).

Zurück

DoE

Die mathematische Komponente von DoE besteht aus einer ANOVA. Hat man ANOVA verstanden, dann tut man sich mit DoE relativ leicht.

Ziel eines DoE ist es, mit möglichst wenig experimentellem Aufwand die optimalen Parameterwerte für einen Prozess zu finden.

Die zu untersuchenden Parameter sind die Faktoren der ANOVA, die während der Versuche einzustellenden Parameterwerte sind die Faktorstufen der ANOVA.

Das bei den während der Versuche resultierende Prozessergebnis ist die Zielvariable.

Das DoE Prozessmodell:

Für einige Begriffe im Zusammenhang mit DoE siehe folgende Tabelle:

Orthogonale Felder | Siehe Orthogonale Felder
Teilfaktorieller Versuchsplan | Stark reduzierter Versuchsaufwand unter Verzicht auf Information, die der Versuchsablauf ansonsten liefern könnte. Man verzichtet bewusst darauf, einige Wechselwirkungen höherer Ordnung auswerten zu können. Spezielle teilfaktorielle Pläne finden bei Taguchi oder Plackett-Burman Designs Anwendung. Taguchis sogenannte orthogonale Felder sind spezielle Pläne, in denen die (uninteressanten) nicht auswertbaren Bereiche gezielt auf den gesamten Plan verteilt sind.
Generator | Hilfsmittel zur Reduzierung vollfaktorieller Versuchspläne auf teilfaktorielle Versuchspläne. BSP: 24 Plan. Faktorstufen A,B,C,D. Daraus kann man einen 24-1 Plan generieren, indem man nur diejenigen Zeilen nimmt, in der die Stufenkombinationen die Bedingung ABCD=1 erfüllen. ABCD =1 heisst Generator.
Vollfaktorieller Versuchsplan | Maximaler Versuchsaufwand bei Gewinnung aller Information. Alle denkbaren Kombinationen aus Faktoren und Faktorstufen werden experimentell durchgespielt. Damit lassen sich alle Haupteffekte und Wechselwirkungen eindeutig erfassen.
Randomisierung | Die Versuchsreihenfolge derart gestalten, dass alles mit jedem vermischt wird. Bsp: Prüfer sollen sich nicht an Messwerte zu konkreten Bedingungen erinnern können. Jede Faktorstufe jedes Faktors soll von allen Prüfern gemessen werden. Im 3-Schichtbetrieb soll jede Schicht jede Faktorstufenkombination durchspielen. usw. Was durch Blocking nicht ausgeschaltet werden kann, kann wenigstens noch randomisiert werden. "Block what you can, randomize what you cannot"
Blocking | Zusammenfassen von Teilversuchen zur Eliminierung von Störeinflüssen. Es kann genau ein Störfaktor je Block eliminiert werden (beim lateinischen Quadrat 2, jedoch mit Einschränkungen). Nur sinnvoll, wenn die In-Block Streuung deutlich geringer ist als Streuung zwischen den Blöcken. "Block what you can, randomize what you cannot" Das Blocking entspricht inhaltlich dem Korrelation steil der Kovarianzanalyse. Beispiel: Pizzaherstellung. Es sollen 6 neue Gewürzmischungen bei der Pizzaherstellung verglichen werden. Jede Gewürzmischung soll auf 5 Pizzen getestet werden. Es liegt also der Faktor "Gewürzmischung" auf 6 Stufen vor, und bei jeder Stufe sollen 5 Messwerte generiert werden. Nun weiss die Produktion jedoch, dass der Vorgang des Backens der Pizzen an sich schon eine wesentliche Quelle der Prozessstreuung ist. Das Prozessergebnis hängt nämlich stark vom Backgang ab. Der Störfaktor "Backvorgang" wird also zum Blockfaktor erklärt. Die einfachste Lösung wäre, alle 6*5=30 Pizzen in den selben Backvorgang zu stecken. Damit hätte man die Backstreuung vollständig eliminiert. Allerdings hat die reguläre Pizzaproduktion Vorrang, sodass man sich auf 5 Backvorgänge zu je 6 Versuchsplätzen einigte. Somit ist jede der 6 Gewürzmischungen in jedem Backvorgang genau einmal vertreten.
Center Point | Zur Identifikation nichtlinearer Effekte kann die Durchführung eines (einzigen) Versuches in der Mitte zwischen allen Faktorstufen hilfreich sein.
Box-Wilson Design | Bei Vorliegen von n Faktoren mit jeweils 2 Stufen (n-nimensionaler Würfel): Hinzufügen von weiteren Faktorstufen in allen Seitenmitten des n-dimensionalen Versuchsraumwürfels und des Center Points. Bei nun 3 Stufen pro 2 Faktoren können auch quadratische Effekte analysiert werden, jedoch nicht mit der selben Genauigkeit wie lineare Effekte. |
Box-Behnken Design | Bei Vorliegen von n Faktoren mit jeweils 2 Stufen (n-dimensionaler Würfel): Hinzufügen von weiteren Faktorstufen in allen Kantenmitten des n-dimensionalen Versuchsraumwürfels und des Center Points. Bei nun 3 Stufen pro Faktor können auch quadratische Effekte mit der selben Genauigkeit wie lineare Effekte analysiert werden. |
Plackett-Burman Design | Sehr ökonomisches Design wenn man jegliche Interaktion ausschliessen kann und nur nach grossen Haupteffekten Ausschau hält. Die Faktorenanzahl bei Plackett Burman Designs sind Vielfache von 4. Die untersuchbare Faktorenanzahl ist um 1 niedriger als die Versuchsanzahl. Beispielsweise können mit einem PB 20 Design 19 Faktoren untersucht werden. Jegliche Zweierwechselwirkung ist jedoch auf alle jeweils übrigen17 Haupteffekte verteilt.
Response Surface Design | Oberbegriff für alle Designs, die es gestatten, quadratische oder höhere Abhängigkeiten zu analysieren. Bsp: Box-Behnken, Box-Wilson, Center Point.
Split Plot Design | Faktor B ist in Faktor A eingebettet. Über Faktor B bekommt man dadurch genauere Information als über Faktor A. Beispiel: Gartenbau. Es existieren 3 Gewächshäuser mit unterschiedlichen Innentemperaturen (Faktor A mit 3 Stufen). In jedem Gewächshaus steht eine Gruppe verschiedener Pflanzen (Faktor B). B ist also in verschiedenen Plots von A eingebettet.
Hierarchische Versuchspläne, Nested Designs | Es werden nicht alle Stufenkombinationen miteinander gekreuzt, sondern es fehlen systematisch bestimmte Faktorstufen-Kombinationsteilräume. Dies ist kein absichtliches Design sondern eher ein gegebener Sachverhalt unter realen Bedingungen, wenn es z.B. an Versuchsobjekten fehlt.
Lateinisches Quadrat | Eine ökonomische Variante für >=3-faktorielle Versuchspläne, mit folgenden Einschränkungen: alle Faktoren müssen die gleiche Stufenanzahl (mindestens 3) aufweisen man verzichtet auf viele Faktorkombinationsstufen. man ist im wesentlichen nur an Haupteffekten interessiert Wechselwirkungen zwischen den Faktoren sind weitgehend auszuschließen. Beispiel: Lateinisches Quadrat mit 3 Faktoren A,B,C auf jeweils 4 Stufen. (--> 16 Runs) Fasst man A und B als Störfaktoren auf, dann ist der Faktor C gleichmässig auf alle Stufen beider Störfaktoren verteilt, wenn auch bei weitem nicht auf alle Stufenkombinationen von A und B. |
Griechisch lateinisches Quadrat | Erweiterung des lateinischen Quadrates auf 4 Faktoren bzw. 3 Störgrössen bei je mindestens 3 Stufen. Es gelten die selben Einschränkungen wie beim Lateinischen Quadrat. Beispiel: Griechisch Lateinisches Quadrat mit 4 Faktoren A,B,C,D auf jeweils 3 Stufen. |
Hyper griechisch lateinisches Quadrat | Erweiterung des lateinischen Quadrates auf 5 Faktoren bzw. 4 Störgrössen bei je mindestens 4 Stufen. Es gelten die selben Einschränkungen wie beim Lateinischen Quadrat. Beispiel: Hyper Griechisch Lateinisches Quadrat mit 5 Faktoren A,B,C,D,E auf jeweils 4 Stufen. |
D-optimal Design (D=Determinante) | Je nach Autor und Sachlage wird folgendes darunter verstanden: (a) Optimal auf das vorliegende Design zugeschnittener Plan mit minimalem Versuchsaufwand Die Faktorstufenzahl eines jeden Faktors wird frei gewählt. Der Faktorraum wird von vorne herein derart beschnitten, dass in der Praxis nicht vorkommende oder nicht realisierbare Faktorstufenkombinationen nicht untersucht werden. Der Versuchsplan ist so ausgelegt, dass mit minimal möglichem Aufwand alle Haupteffekte und alle Wechselwirkungen erster Ordnung aufgelöst werden können. Aus 1. und 2. folgt, dass der Plan in der Regel nicht orthogonal ist, was bedeutet, dass nicht alle Information über Haupteffekte erhältlich ist. (b) Versuchspunkte werden so gelegt, dass die Determinante der Designmatrix maximal wird Die Determinante einer Matrix ist nämlich ein Mass für deren Orthogonalität. Je unabhängiger die Spalten einer Matrix, umso größer ist die Determinante dieser Matrix. ---> Die Design-Matrix mit maximaler Determinante entspricht einem Versuchsplan mit maximaler Unabhängigkeit (Orthogonalität) der Faktoreffekte untereinander. D-optimale Designs maximieren den Informationsgehalt.
I-optimal Design (I=Integrated Variance) | Die Versuchspunkte im Faktorenraum werden so gelegt, dass im interessierenden Bereich die durchschnittliche Varianz der Zielvariablen minimal wird. I-optimale Designs minimieren die Streuung
A-optimal | Im Gegenzatz zum D-optimalen Design wird nicht die Determinante, sondern die Spur der Designmatrix (Summe der Diagonalelemente) wird maximiert, die Nicht-Diagonalelemente minimiert. A-optimale Designs maximieren ebenso wie D-optimale Designs den Informationsgehalt.
G-optimal | Der maximale Standardfehler der Zielvariablen wird minimiert. G-optimale Designs minimieren die Streuung.
Taguchi, Shainin: | Lediglich ein (sehr) kleiner Teil aller möglichen Faktorstufenkombinationen wird untersucht. Voraussetzung ist jedoch, dass im Rahmen von Expertenrunden die Irrelevanz der verzichteten Kombinationen rechtfertigt wird.

Zurück

21.08.2005