# Korrelationskoeffizienten und Zusammenhangsmasse

Hier werden verschiedene Korrelationskoeffizienten und Zusammenhangsmasse dargestellt. Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient, Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient, Kendalls Tau, Cramers V, Kontingenzkoeffizient Phi, Assoziationskoefizient, Lambda (Goodman & Kruskal), Tau, Biseriale Korrelation, Punkt-Biseriale Korrelation, Tetrachorische Korellation Biseriale Rangkorrelation Partielle Korrelation Partielle Rangkorrelation Multiple Rangkorrelation und Multiple Korrelation

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Zu diversen statistischen Tests des Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten

Auf dieser Seite werden einige Typen Korrelationskoeffizienten für verschiedene Skalenniveau s vorgestellt.

Auf den Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten wird im Zusammenhang mit statistischen Tests hier vertiefend eingegangen.

Bezeichnungen | Beschreibung | Skalenniveau s
"Der Korrelationskoeffizient" Masskorrelationskoeffizient Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient Bravais Pearsonscher Korrelationskoeffizient Siehe auch diese Exceldatei für ein Zahlenbeispiel mit Gegenüberstellung von Kontingenzkoeffizient Phi, Spearman's r Pearson'scher Korrelationskoeffizient. | Siehe Produkt Moment Korrelationskoeffizient. Cov = Kovarianz | metrisch / metrisch
Spearmanscher Rangkorrelations koeffizient Siehe auch diese Exceldatei für ein Zahlenbeispiel mit Gegenüberstellung von Kontingenzkoeffizient Phi, Spearman's rho Pearson'scher Korrelationskoeffizient. | Bei Rangkorrelationen werden nicht die Zahlenwerte der Daten, sondern nur ihre relative Positionen zueinander ausgewertet. N: Gesamtanzahl Wertepaare di: Differenz der Rangwerte des Wertepaares i Derivat des Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten. | ordinal / ordinal
Kendall's Konkordanzkoeffizient | Siehe hier
Kendall's Rangkorrelations koeffizient Tau | Kendalls Tau ist mächtiger als der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient. Für eine genaue Beschreibung siehe hier. Während Spearman lediglich 2 Messreihen paarweise auswertet, kann Kendalls Tau auch auf Kontingenztabellen angewendet werden. | Für die Anwendung auf Kontingenz tabellen gedacht
Cramers V | k = der kleinere Wert der Anzahl der Zeilen oder der Spalten. n: Gesamtanzahl Werte X2: Chi Quadrat | nominal / nominal
Kontingenzkoeffizient Phi Siehe auch diese Exceldatei für ein Zahlenbeispiel mit Gegenüberstellung von Kontingenzkoeffizient Phi, Spearman's r Pearson'scher Korrelationskoeffizient. | Zusammenhang mit der X2 Verteilung (siehe Vierfeldertafel Test): --> Auflösen nach X2 ergibt die Prüfgrösse für F F ist ein Derivat des Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten Nur bei 2*2 Tabellen. (= Vier Felder Tafeln) X2: Chi Quadrat (Man kann sich die beiden dichotomen Skalen als "quasimetrische" Skalen vorstellen, die lediglich aus den Werten 0 und 1 bestehen) Anmerkungen: Der mögliche Wertebereich von F kann deutlich kleiner sein als [-1.....+1]. Man erkennt das, wenn man eine Vierfeldertafel mit Zahlenbeispielen belegt und versucht, "extreme" Zahlenkonstellationen unter Beibehaltung der Randhäufigkeiten zu finden.
Lambda Beispiel siehe hier | Maß für die Stärke des Zusammenhanges nominalskalierter Variablen in einer zweidimensionalen Kreuztabelle. Verglichen werden die Anteile richtiger Zuordnungen mit und ohne Einbeziehung von in der Tabelle verfügbarer Information. Allgemein: (Anteil der neu hinzugekommenen richtigen Vorhersagen) / (Anteil der ursprünglich falschen Vorhersagen) Beispiel siehe hier
Tau (Goodman Kruskal) Beispiel siehe hier
Assoziationskoeffizient C, Kontingenzkoeffizient C (Pearson) | X2: Chi Quadrat n: Gesamtanzahl Wertepaare Anmerkung: Manchmal wird für C auch die Formel angegeben (j = Anzahl Zeilen , Spalten,...wobei j die kleinste der Zahlen sein muss)
Punkt-biseriale Korrelation | Beschreibt einen Zusammenhang zwischen einem echt dichotomen (also nominalskalierten ) und einem normalverteilten Merkmal. n1,n2: Stichprobenumfänge auf den beiden Stufen des dichotomen Merkmals, s: Standardabweichung des kontinuierlichen Merkmals, µ1,µ2: Mittelwerte des kontinuierlichen (metrischen) Merkmals auf den Stufen 1 und 2 des dichotomen Merkmals. Derivat des Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten . Signifikanz test: Mit der unter Fisher Transformation angegebenen Formel Beispiel siehe dort. | metrisch / echt dichotom
Biseriale Korrelation | Beschreibt einen Zusammenhang von zwei metrischen und jeweils normalverteilten Variablen. Dabei ist eine der beiden Variablen künstlich dichotomisiert ( = in zwei Kategorien aufgeteilt) worden. Beispiel: Künstliche Dichotomisierung macht man bei Umfragen, wo an sich metrische Merkmale mit Ja/Nein, Gut/Schlecht bewertet werden sollen. Der damit einhergehende Informationsverlust wird in Kauf genommen, wenn man sich beispielsweise prinzipiell für das Haushaltseinkommen in Abhängigkeit des Alters interessiert, das Ergebnis jedoch in "Rentner" und "Nicht-Rentner" aufschlüsseln und auf dieser Basis Korrelationsberechnungen anstellen will. F ist die Ordinate (Wert auf der vertikalen Achse) der Standardnormalverteilung, die sie in die Anteile n1/(n2+n1) und n2/(n2+n1) aufteilt. Beispiel: n1=6 und n2=6 -> n1/(n2+n1) =6/(6+6) =0.5 -> Für welches z bekommt die (kumulierte) Standardnormalverteilung den Wert 0.5? -> Excel funktion STANDNORMINV(0.5) = 0 -> Dunktionswert der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung an der Stelle 0.5? -> Excelfunktion NORMVERT(0,0,1,falsch) = 0.3989 -> F =0.3989. µ1 und µ2 sind die Mittelwerte des kontinuierlichen Merkmals auf den Stufen 1 und 2. s ist die Standardabweichung des kontinuierlichen Merkmals. Derivat des Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten | metrisch / künstlich dichotom
Tetrachorische Korellation | Beschreibt einen Zusammenhang von zwei metrischen und jeweils normalverteilten Variablen. Dabei sind beide Variablen künstlich dichotomisiert ( = in zwei Kategorien aufgeteilt) worden . nxy = Besetzungszahlen der Vierfeldertafel. Künstliche Dichotomisierung macht man bei Umfragen, wo an sich metrische Merkmale mit Ja/Nein, Gut/Schlecht bewertet werden sollen. Der damit einhergehende Informationsverlust wird in Kauf genommen, wenn man sich beispielsweise prinzipiell für das Haushaltseinkommen in Abhängigkeit des Alters interessiert, das Ergebnis jedoch in "Rentner" und "Nicht-Rentner" aufschlüsseln und auf dieser Basis Korrelationsberechnungen anstellen will. Signifikanztest: zgauss: Standardnormalverteilung a,b,c,d: Randhäufigkeiten der Vierfeldertafel. Fx, Fy : Berechnung siehe Beislpiel oben unter "Biseriale Korrelation" Hier sind jedoch 2 F's zu berechnen. Bei der Berechnung des 2. F denkt man sich das Koordinatensystem einfach um 90 Grad gedreht. Für n1 und n2 sind die jeweiligen Randhäufigkeiten zu nehmen.
Biseriale Rangkorrelation | Beschreibt einen Zusammenhang zwischen einem echt dichotomen (also nominalskalierten ) und einem weiteren Merkmal auf ordinalem Niveau. Die Vorgehensweise entspricht derjenigen des Mann-Whitney Tests. Die Stufen der dichotomen Skala werden als Gruppen aufgefasst. Für beide Gruppen werden wie im Mann Whithey Test die Rangsummen und daraufhin die folgenden Werte berechnet: --> n+m: Gesamtanzahl Wertepaare n,m: Anzahl Wertepaare auf der 1. bzw. 2. Stufe des dichotomen Merkmals. Signifikanz wird genauso wie beim Mann-Whitney Test überprüft. Dabei wird das Datenmaterial wieder als 2 Stichproben, repräsentiert durch das dichotome Merkmal, aufgefasst. | ordinal / echt dichotom
Partielle Korrelation | Korrelation zweier Variablen, nachdem der Einfluss weiterer Variablen herausgerechnet (herauspartialisiert) worden ist. Alle "Nonsenskorrelationen" (Beispiele siehe Kausalität) entstehen dadurch, dass man vergessen hat, mindestens eine dritte, "vermittelnde Variable" herauszurechnen. | metrisch / metrisch
Partielle Rangkorrelation | Siehe Partielle Korrelation, jedoch auf ordinalem Skalenniveau. Es existiert keine Berechnungsformel. --> Näherungsweise mit Partieller Korrelation arbeiten. | ordinal / ordinal
Multiple Rangkorrelation | Beschreibt einen Zusammenhang mehrerer ordinaler Variablen. Da es kein speziell für ordinale Daten entwickeltes Verfahren gibt, wird hier mit der Multiplen Korrelation gearbeitet, die ja eigentlich nur für metrische Daten gilt. | ordinal / ordinal
Multiple Korrelation | Beschreibt einen Zusammenhang mehrerer metrischer und jeweils normalverteilter Variablen. | metrisch / metrisch

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13.07.2006