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Pascalsches Dreieck zur Berechnung der Binomialkoeffizienten

Werkzeug zur einfachen Berechnung der Binomialkoeffizienten der Binomialverteilung.

Das Paskalsche Dreieck (blau) ist bis N=6 dargestellt. Die Zahlen ergeben sich einfach durch Zusammenzählen jeweils derjenigen beiden Zahlen, die rechts und links oberhalb der zu berechnenden Zahl stehen.

Den Ausdruck "6 über 4", berechnet man beispielsweise, indem man im Pascalschen Dreieck den Wert abliest, der bei N=6 und k=4 steht: 15.

Entsprechend erhält man beispielsweise für den Wert 1 (k geht hier ja nur von 0 bis 3).

Das Galtonbrett demonstriert bisher Gesagtes recht eindrücklich:

Eine von oben herabfallende Kugel trifft auf ein Hindernis, an dem sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit links oder rechts vorbeikommen wird. Im nächsten Schritt passiert das Selbe, usw.

Die Kugel fällt also durch ein System aus Hindernissen, wo nach jedem passierten Hindernis wieder ein Neues wartet mit der selben Eigenschaft: Die Kugel kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder links oder rechts vorbei.

Jedes zu passierende Hindernis stellt für sich alleine genommen einen Bernoulliversuch dar. Alle Hindernisse zusammengenommen bilden ein System aus voneinander unabhängigen Bernoulliversuchen.

Wenn man die im Pascalschen Dreieck angegebenen Zahlen so skaliert, dass die kompletten horizontalen Reihen in der Summe jeweils 1 ergeben, dann hat man die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Kugel an den Stellen der entsprechenden Zahlen vorbeikommt.

Siehe auch Kombinatorik.