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Multiple Korrelation

Ähnlich wie Korrelationsanalyse, jedoch Erweiterung auf mindestens 3 (statt 2) Variablen.

Im Unterschied zur Regressionsanalyse die Untersuchung des Zusammenhanges mehrerer gleichberechtigter Variablen; es gibt keine abhängige, vorherzusagende Variable.

Es geht um Kovariation von X1, X2,... und Y und nicht um Vorhersage von Y durch X1, X2,....

Wichtig ist, dass die eine Variable Y gleichberechtigt ist mit dem Variablenbüschel Xi .

Ergebnis einer Korrelationsanalyse ist der multiple Korrelationskoeffizient.

Da die Vorstellung des Korrelationskoeffizienten des zweidimensionalen Falles (x und y) nicht auf den mehrdimensionalen Fall übertragbar ist, kann der multiple Korrelationskoeffizient nur über den "Umweg" des multiplen Bestimmtheitsmasses hergeleitet werden. (Siehe auch Anmerkung 1 weiter unten)

Dies ist ein Wurzelausdruck, bei dem die Unterscheidung +/- keinerlei zusätzliche Information bringt.

Man sieht das auch an dem folgenden Beispiel für den dreidimensionalen Fall (x1, x2, y)

Bsp. für 3 Variablen:

Hierin bedeuten die r-Koeffizienten im Wurzelausdruck die Korrelationskoeffizienten der jeweils im Index angegebenen beiden Variablen

Ermittlung des Signifikanzniveaus des multiplen Korrelationskoeffizienten für 3 Variablen Y, X1, X2:

, wobei

F: F-Verteilung, 2: Freiheitsgrade des Zählers, (N-3): Freiheitsgrade des Nenners.

Anmerkung1 :

Die Berechnung des multiplen Korrelationskoeffizienten nach obigem Muster ist für mehr als 3 Variablen äusserst mühsam.

Einfacher ist folgender Ansatz:

Das Quadrat des Korrelationskoeffizienten (Bestimmtheitsmass) ist ja die aufgeklärte Quadratesumme geteilt durch die gesamte Quadratesumme.

Für Näheres siehe unter Bestimmtheitsmass und insbesondere adjustiertes Bestimmtheitsmass.

Anmerkung 2:

Eine "echte" multiple Korrelation liegt dann vor, wenn die Xi unter sich möglichst wenig korrelieren, gleichzeitig jedoch jedes Xi mit Y möglichst stark korreliert.

Wenn X1 mit X2 schon stark korreliert, dann kann man deswegen noch nicht behaupten, dass die Kombination (X1,X2) mit Y stark korreliert.

Bei multiplen Korrelationen muss man also immer nachprüfen, ob nicht einige der Xi bereits untereinander schon korrelieren.

Diesem Sachverhalt tragen die Faktoren r(x1,x2) in obiger Formel Rechnung.

Siehe auch multiple lineare Regression.

Siehe auch Tabelle Korrelationskoeffizienten.