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# Statistische Verteilungsfunktionen und ihre Beziehungen zueinender

Die Verteilungsfunktionen der Statistik stehen in Beziehung zueinander. Beispielsweise ist die Normalverteilung eine t-Verteilung für n --> 00. Aber auch Poissonverteilung, Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung und Normalverteilung lassen sich unter bestimmten Bedingungen ineinander überführen.
Die folgende Übersicht versucht alle Zusammenhänge darzustellen.
Speziell:
Für eine Darstellung der Beziehungen Gammaverteilung - Poissonverteilung - Exponentialverteilung siehe hier.
Dies ist besonders für die Zuverlässigkeitstechnik relevant.

Übersicht über die Wechselbeziehungen einiger kontinuierliche r und diskrete r Verteilungsdichtefunktionen

Ausgangsverteilung | Operation | Zielverteilung
Gamma mit der Gamma Funktion |  | Beta
b->1/a, k >0 und ganzzahlig | Erlang
b=2, k=n/2 Siehe auch MTBF Vertrauensintervall | Chi2
k=1 | Exponential
Integral über x von 0 bis T | Poisson, µ=T/b
| t-Verteilung
| F-Verteilung

Erlang mit der Gamma Funktion |  | Beta
a->1/b k beliebig | Gamma
a=1/2, k=n/2 | Chi2
k=1 | Exponential
Integral über x von 0 bis T | Poisson, µ=lT

Weibull | h=1 | Exponential
h=2 | Rayleigh
h=1 l->l/2 x-> |x| | Laplace

Beta mit oder alternativ | p=1/2 q=1/2 | Arcussinus
p -> 00 q -> 00 (asymptotisch) | Normalverteilung
| F-Verteilung

Chi2 (n Werte aus Normalverteilung entnommen und quadriert), oder alternativ mit der Gamma Funktion und t ein beliebiger Parameter. | n=2 | Exponential mit l=1/2
Quotient zweier C2 Verteilungen mit n und m Freiheitsgraden, n>m. | F-Verteilung (n,m)

Exponential | k-fache Faltung | Gamma (k) -> Exponential
k-fache Faltung | Erlang (k) -> Exponential
l->l/2 x-> |x| | Laplace
Diskretisierung | Geometrische Verteilung

t-Verteilung (n Werte aus Normalverteilung entnommen) oder alternativ mit der Gamma Funktion | n=1 | Cauchyverteilung
n -> 00 | Normalverteilung
= F-Verteilung: F(1,n)

Hypergeometrische Verteilung | n -> 00 d -> 0 p=d/N (asymptotisch) | Binomialverteilung
Binomialverteilung | n -> 00 p -> 0 np=µ (asymptotisch) | Poisson
n=1 | Bernoulliverteilung
np(1-p) >9 (asymptotisch) | Normalverteilung
Poissonverteilung | µ > 9 (asymptotisch)
Negative Binomialverteilung | n=1 | Geometrische Verteilung
n(1-p)=µ n -> 00 (asymptotisch) | Poisson
Normalverteilung | x -> ln(x) | Lognormalverteilung

F-Verteilung F(m,n) |  | Quotient zweier Chi Quadrat Verteilungen
m -> unendlich | Chi Quadrat Verteilung X2n
t-Verteilung | Quadrieren | F-Verteilung F(1,m) (Normalverteilung)2 / Chi Quadrat Verteilung
Normalverteilung | F-Verteilung F(1,unendlich)

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13.09.2005