# Vierfelder Tafel Test und McNemar Test bei 2x2 Kreuztabellen

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Vierfeldertafel Test, und bei verbundenen Stichproben die Variante McNemar Test, sind spezielle Chi Quadrat Tests. Da hier immer 2 x 2 = vier Felder und daher (2-1) *(2-1) = 1 Freiheitsgrad vorliegt, wird bei der prüfgrösse (Teststatistik) die Chi Quadrat Verteilung mit einem Freiheitsgrad angewendet.

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Vierfeldertafel-Test

Ein spezieller Chi Quadrat Test.

Voraussetzungen:

- 80% der Felder sollten Besetzungszahlen >5 haben. (3 von 4 Felder wären aber nur 75%).

- Wenn eine Besetzungszahl =0 ist, dann siehe Delta Option.

Meisstgebrauchte Testkategorie, die auf allen Skalenniveau s zum Einsatz kommt.

Dient zum Vergleich zweier Gruppen, deren Anteil Merkmalsträger auf signifikanten Unterschied zu prüfen ist.

Die Prüfgrösse berechnet sich gleich wie beim allgemeinen Chi Quadrat Test:

In der Literatur ist manchmal eine umgeformte Darstellung der Prüfgrösse für Vierfelder Tests zu finden, mit der sich leichter rechnen lässt:

bzw. für N<60 mit Kontinuitätskorrektur:

Die Vorgehensweise bei diesem Test ist gleich wie beim "normalen" Chi Quadrat Test.

Beispiel

Es soll anhand einer Umfrage die Nullhypothese überprüft werden, dass Frauen und Männer mit ihrem Körpergewicht gleichermassen zufrieden sind.

1.)

Originaldaten

| Zufrieden | Nicht zufrieden Beispiel
Frauen | 102 (a) | 234 (b)
Männer | 89 (c) | 170 (d)

2.)

Ermittlung der Randhäufigkeiten

| Zufrieden | Nicht zufrieden | Gesamt
Frauen | 102 | 234 | 336
Männer | 89 | 170 | 259
Gesamt | 191 | 404 | 595

3.)

Ermittlung der Erwartungswerte

| Zufrieden | Nicht zufrieden | Gesamt
Frauen | 102 | 191*336/595=108 | 234 | 404*336/595=228 | 336
Männer | 89 | 191*259/595=83 | 170 | 404*259/595=176 | 259
Gesamt | 191 | 404 | 595

4.) Berechnung der Prüfgrösse und der Anzahl Freiheitsgrade.

=[(102-108)2]/108 + [(89-83)2]/83 + [(234-228)2]/228 + [(170-176)2]/176

=1.12. (Berechnung mit der vereinfachten Formel mit Kontinuitätskorrektur liefert das Ergebnis 1,077)

f = (2-1)*(2-1) = 1

--> das Alpha Risiko beträgt 29,94 % bzw. das Signifikanzniveau 70,06%. Die existierenden Daten würden also nicht ausreichen , die Nullhypothese zu verwerfen, wenn man wenigstens 90% Signifikanxniveau fordern würde.

Das Signifikanzniveau wurde mit der Excelfunktion [1-CHIVERT(1,077;1)] berechnet.

Für eine Berechnung des Chi Quadrat Tests in Excel siehe das Arbeitsblatt "Chi test" dieser Exceldatei.

Für kleine Besetzungszahlen der Felder muss man exakt testen, was praktisch einem Auszählen aller denkbaren, noch unwahrscheinlicheren Fälle gleichkommt.

Siehe Fisher's exakter Test

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31.08.2005

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McNemar Test

Spezieller Vierfeldertafel Test für verbundene Stichproben (mit Messwiederholung).

Maximal ordinales Skalenniveau.

Anwendung vor allem in Psychologie und Medizin, wo die selbe Gruppe von Patienten vor und nach einer Behandlung befragt wird.

Die Vorgehensweise bei diesem Test ist gleich wie beim Vierfeldertafel Test, jedoch wird die Prüfgrösse einfacher berechnet (Siehe folgendes Beispiel)

Beispiel:

In einer Versuchspersonengruppe soll die Neigung zu einem Produkt vor und nach einem Werbespot ermittelt werden.

Statt wie beim "normalen" Vierfelder Chi Quadrat Test beispiel mit Frauen und Männern hat man es hier mit den selben Personen vor und nach einem Ereignis (Werbespot) zu tun: Messwiederholung.

1.) Originaldaten

| Nachher
Zugeneigt | Ablehnung
Vorher | Zugeneigt | 8 | 2
Ablehnung | 12 | 6

Nullhypothese: Der Werbespot zeigt keine Wirkung.

Die beiden rot markierten Zahlen sind die eigentlich interessierenden,

denn nur sie zeigen Veränderungen des Verhaltens der Testpersonen vorher / nachher auf.

Bei 12 Testpersonen war der Werbespot erfolgreich, bei 2 Testpersonen bewirkte er das Gegenteil. (8+6) = 14 Testpersonen wurden gar nicht beeinflusst.

Verallgemeinerte Darstellung der Tabelle:

a | c
b | d

2.) Ermittlung der Erwartungswerte

--- | (b+c)/2
(b+c)/2 | ---

Die Prüfgrösse berechnet sich somit aus nur 2 Feldern:

, oder vereinfacht:

bzw. mit Kontinuitätskorrektur:

Für das gegebene Beispiel ergibt sich 7,1428.

Die Anzahl Freiheitsgrade ist wie beim "normalen" Vierfeldertest = 1.

--> das Alpha Risiko beträgt 0.8 % bzw. das Signifikanzniveau 99.2%.

Die Nullhypothese kann also zum Alpha Risiko von 1% verworfen werden.

Das Signifikanzniveau wurde mit der Excelfunktion [1-CHIVERT(7,1428;1)] berechnet.

Für eine Berechnung des Chi Quadrat Tests in Excel siehe das Arbeitsblatt "Chi test" dieser Exceldatei.

Für kleine Besetzungszahlen der Felder muss man exakt testen, was praktisch einem Auszählen aller denkbaren, noch unwahrscheinlicheren Fälle gleichkommt.

Es gibt hierfür keine besondere Testform. Der test hätte Ähnlichkeit mit Fisher's exaktem Test, müsste jedoch die Abhängigkeit der Daten berücksichtigen.

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31.08.2005