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Mehrdimensionale Normalverteilung

Da die mehrdimensionale Normalverteilung ebenso wie die Normalverteilung nicht geschlossen darstellbar ist, wird hier die Dichtefunktion angegeben:

Eindimensional (nur eine unabhängige Variable) | n-Dimensional (n unabhängige Variablen)
| Einschränkung: Diese Formel gilt nur für den Fall voneinander unabhängiger xi, das heisst, alle Korrelationskoeffizienten (bzw. alle Kovarianzen) zwischen den xi sind Null.

Für den Fall abhängiger xi nimmt die n-dimensionale Normalverteilung folgende Gestalt an:

(Ab hier kommt man ohne Matrixnotation nicht mehr aus, weil die konventionelle Darstellung für jedes n anders aussehen würde.

Eine Anleitung zum Rechnen mit Matrizen wird unter der Rubrik " Multiple lineare Regression" mitgegeben)

| Es bedeuten: S: Varianz-Kovarianzmatrix der unabhängigen Variablen xi (n-dimensionale Matrix). S-1: Inverse Matrix zu S (ein verallgemeinerter Kehrwert) DET (...) Determinante von (...) X: Vektor der unabhängigen Variablen xi µ: Mittelwertsvektor (...)T Die Transponierte von (...)

Für den zweidimensionalen Fall sieht das in konventioneller Darstellung wie folgt aus:

Der mittlere Term im Exponenten entspricht der Kovarianz der beiden unbhängigen Variablen x1 und x2.

Der Nenner im Vorfaktor (ohne 2p) ist die Wurzel der Determinante der (in diesem Fall 2x2-dimensionalen) Varianz-Kovarianzmatrix.

Man erkennt leicht, dass für r = 0 die ganz oben angegebene Formel für unabhängige x1 und x2 (n=2) herauskommt.

Im dreidimensionalen Koordinatensystem ergibt sich mit r = 0 eine um die z- Achse rotationssymmetrische
Glockenform.

Ähnlich wie im eindimensionalen Fall beschreibt die Dichtefunktion der n-dimensionalen Normalverteilung eine n-dimensionale Glockenform.

Für das Aussehen der Glockenform ist es von entscheidender Bedeutung, welche Werte die Korrelationskoeffizienten der unabhängigen Variablen xi annehmen.

Die "runde" Glockenform ergibt sich nur, wenn alle Korrelationskoeffizienten = 0 sind.

Was bei r ungleich 0 passiert, sieht man am Besten im zweidimensionalen Fall.

Bei r = 1 sind beide Dimensionen streng korreliert und man erhält eine eindimensionale Glockenform, die sich im 45 Grad Winkel über die beiden ursprünglichen Dimensionen erstreckt.

Bei Werten von r zwischen 0 und 1 ergibt sich eine elliptische Glockenform.