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# Umtauschparadoxon

Ein Paradoxon.

Jemand erhält einen Briefumschlag.

Ihm wird gesagt, dass es insgesamt 2 Umschläge gibt, wobei im Einen doppelt so viel Geld drin ist wie im Anderen.

Frage: Soll er den Umschlag behalten, oder gegen den Anderen umtauschen?

Die naive Rechnung lautet:

Seien die beiden Beträge x und 2x. Bei Tausch erhält man zu jeweils 50% Wahrscheinlichkeit den doppelten bzw. den halben Betrag, also 0.5*x/2 +0.5*2x = 1.25*x. Man gewinnt demnach bei Tausch statistisch im Mittel 25% dazu.

Dass das Umtauschparadoxon in Wahrheit gar kein Paradoxon ist, erkennt man, wenn man das Rätsel anders formuliert, ohne es mathematisch und logisch zu verändern:

Jemand erhält 2 Briefumschläge. Ihm wird gesagt, dass im Einen doppelt so viel Geld drin ist wie im Anderen.

Welchen soll er nehmen?

Hier erkennt man, dass der Beschenkte gar keinen gezielten Einfluss auf den erzielten Gewinn haben kann, denn die beiden Umschläge sind völlig gleichberechtigt. Er kann nur den Einen oder Anderen wählen.

Hier gilt die folgende Rechnung:

0.5*x + 0.5*2x = 1.5*x. Das jetzige x bezieht sich auf den kleineren Betrag, von dem man nicht weiss, in welchem Brief er steckt.

Das x in der naiven Rechnung weiter oben dagegen bezieht sich auf den unbekannten Betrag, welcher in dem Umschlag ist, den der Beschenkte gerade in Händen hält.

Allerdings wird in der naiven Rechnung die Bezugsbasis gewechselt: Das erste x geht davon aus, dass man den Brief mit dem grösseren Betrag in Händen hält, während das zweite x davon ausgeht, dass man den Brief mit dem kleineren Betrag in Händen hält.

Ferner ist in der naiven Rechnung von 0.5x und 2x die Rede, was ja um Faktor 4 auseinander liegt, was für sich genommen schon der Ausgangsformulierung widerspricht.

Deshalb ist das Ergebnis 1,25*x ohne jegliche Bedeutung.