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# Verteilungsfunktion

Integral der Dichtefunktion.

Die Verteilungsfunktion [meistens F(x) genannt (!Grossbuchstabe!)] gibt die relative Häufigkeit von Ereignissen an, und zwar in kumulierter Form.

Im eindimensionalen Fall bedeutet dies, das F(x) die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Zufallsvariable X HÖCHSTENS (also von unten her kumuliert) den Wert x annimmt.

Beispiel:

- Blau: Verteilungsfunktion

- Die Wahrscheinlichkeit, dass x höchstens den Wert 0 (Rot) annimmt, beträgt 0,5 (Grün)

Im Volksmund kann abweichend mit zuvor Gesagtem auch fälschlicherweise die ( Wahrscheinlichkeits-)dichtefunktion f(x) (!Kleinbuchstabe!) als Verteilungsfunktion gemeint sein.

Korrekt ist jedoch nur das Integral (im diskreten Fall die Summe) der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, F(x).

Manche (kumulierten) Verteilungsfunktionen lassen sich nicht geschlossen darstellen (z.B. Normalverteilung).

Alle praktisch relevanten (kumulierten) Verteilungsfunktionen bilden in linearen Koordinatensystemen eine S-Kurve wie oben beispielhaft dargestellt.

Die S-Kurve bedeutet aber auch, dass die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion en eingipfelig sein muss.

Weitere Anmerkungen finden sich unter Verteilung.

Eine Auflistung zahlreicher praktisch relevanter Verteilungsfunktionen findet man unter Formparameter.

Eine tabellarische Darstellung der Wechselbeziehungen wichtiger Verteilungsfunktionen befindet sich hier.

Gängige Verfahren zur Bestimmung der Verteilungsfunktion aus einer Stichprobe sind

- Maximum Likelihood Estimation,

- Kleinste Quadrate Methode,

- Kerndichteschätzung.

Anmerkung:

Die Werte von Verteilungsfunktionen werden auch Quantile genannt.

Die in % umgerechneten Werte von Verteilungsfunktionen werden auch als Prozentränge bezeichnet.

Eine Gegenüberstellung der Beziehungen verschiedener Verteilungsfunktionen untereinander befindet sich hier.