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Sprungstellendetektionstest nach Cochran

Dieser Test vergleicht die Häufigkeit in einem bestimmten Intervall mit allen vorangegangenen Häufigkeiten.

Gegeben sei eine Reihe aus Intervallen, in denen bestimmte Ereignisse mehr oder weniger häufig auftreten.

Beispiel: (Selbes Beispiel wie bei Häufungstrendtest)

Intervall (i) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13
Häufigkeit (hi) | 0 | 1 | 1 | 2 | 5 | 12 | 11 | 3 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0

Die mittlere relative Häufigkeit über die gesamte Reihe beträgt (0+1+2+2+5+12+11+3+1+0+0+1+0)/13 = 37/13

Bereits mit blossem Auge glaubt man zu erkennen, dass vom 5. auf das 6. Intervall ein Sprung stattfindet, ebenso vom 7. auf das 8. Intervall.

Nullhypothese 1: "Vom 5. zum 6. Intervall gibt es eine abrupte Zunahme der Häufigkeiten".

Nullhypothese 2: "Vom 7. zum 8. Intervall gibt es eine abrupte Abnahme der Häufigkeiten".

Alternativhypothese: "Die relativen Häufigkeiten ändern sich in besagten Intervallen nicht abrupt".

Die Prüfgrösse für den Sprungstellendetektionstest sei anstelle der allgemeinen Formel anhand zweier Beispiele dargelegt.

Die Anzahl Freiheitsgrade: beträgt für diesen Test immer1

Für den Sprung vom 5. auf das 6. Intervall lautet die Prüfgrösse zum Beispiel:

, also = 30,462

Für den Sprung vom 7. auf das 8. Intervall lautet sie:

, also = 0,759

Anmerkung: Addiert man alle denkbaren X2 der Reihe auf, d. h.: Berechnet man zu jedem denkbaren Intervallübergang die Prüfgrösse, dann erhält man den "normalen" Chi Quadrat Test auf Gleichverteilung in allen Intervallen.

Mit der Excelfunktion CHIVERT erhält man für die beiden obigen Fälle

CHIVERT(30,462;1) = 3,4E-6%

CHIVERT(0,759;1) = 38,36%,

Dies ist jeweils als 2 seitige Wahrscheinlichkeit aufzufassen.

Da hier nur ein Freiheitsgrad vorliegt, kann man die Prüfgrösse der Chi Quadrat Verteilung (30,462 bzw. 0,759) durch Wurzelziehen in die Prüfgrösse der Standardnormalverteilung transformieren und damit eine einseitige Wahrscheinlichkeit berechnen:

= 5,52 bzw.0,87.

Mit der Excelfunktion [1-STANDNORMVERT] erhält man nun die einseitige n Wahrscheinlichkeiten

[1-STANDNORMVERT(5,52)] = 1,70E-6%

[1-STANDNORMVERT(0,87)] = 19,21%

-> Rein zufällig würde man nur in 1,7E-6% aller Fälle erwarten, dass vom 5. zum 6. Intervall ein derartiger Sprung stattfindet.

Dieser Sprung ist also auf alle Fälle signifikant.

->Rein zufällig würde man in 19.21% aller Fälle erwarten, dass vom 7. zum 8. Intervall ein derartiger Sprung stattfindet.

Dieser Sprung ist nicht signifikant.

Dies hat folgenden einfachen Grund:

Der Zahlenwert (3) des 8. Intervalls wird mit dem Durchschnitt der Zahlenwerte der ersten 7 Intervalle (32/7=4,57)

verglichen.

Der Zahlenwert (12) des 6. Intervalls dagegen wird mit dem Durchschnitt der Zahlenwerte der ersten 5 Intervalle (5/9=0,55) verglichen.

Der erste "übersignifikante" Sprung lässt den zweiten Sprung buchstäblich verblassen.

Siehe auch Anmerkung unter Chi Quadrat Test.

Für eine zusammenhängende Darstellung u.A. der Beziehungen Chi Quadrat Verteilung - Normalverteilung siehe hier.

Siehe auch Häufungstrendtest.