Spearmans Rangkorrelationskoeffizient oder Spearmans Rho
Ohne Frames
Herleitung aus dem Bravais Pearsonschen Korrelationskoeffizienten
Spearmans Rho, Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient ist nicht etwa ein eigenständiges Mass, sondern ein direktes Derivat des Bravais Pearsonschen bzw. Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten. Hier wird der Zusammenhang aufgezeigt, indem Spearmans Rangkorrelationskoeffizient aus demPearsonschen Korrelationskoeffizienten hergeleitet wird.

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Wie berechnet sich der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient aus dem Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten ?

Man geht vom Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten aus

(Cov = Kovarianz),

welcher auch wie folgt geschrieben werden kann , xquer und yquer: Erwartungswerte.

Mit ausmultipliziertem Zähler ergibt das (1)

Beim Spearman'schen Rangkorrelationskoeffizienten muss man sich vor Augen halten, dass sowohl die xi als auch die yi vollständige, aus ganzen positiven Zahlen bestehende Reihen sind, also z.B.für n=9: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

In der Rubrik Ordnungsstatistik findet man für solche Zahlenreihen folgende Kenngrössen:

Mittelwert (Erwartungswert) | --> xquer = yquer = (n+1)/2 (2)
Varianz | --> , (3)
Summe | --> , (4)
Quadratesumme | --> , (5)

Als ersten Schritt löst man die binomnische Beziehung nach S2xiyi auf und setzt dies in (1) ein.

In die sich nun ergebende Gleichung setzt man schliesslich (2), (3), (4) und (5) ein, kürzt alles Mögliche heraus und erhält schliesslich:

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19.09.2005