# Bonferroni gegen Alpha Inflation

## Anpassung des Alpharisikos bei multiplem Testen

Ohne Frames

Bei mehrfachen oder multiplen Tests besteht das Problem der Alpha Inflation, denn häufiges Testen führt irgendwann zwangsläufig zu Signifikanz.
Abhilfe schafft hier z.B. das Hochsetzen der Schwelle für Signifikanz, die Alpha Adjustierung.

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Bonferroni Ansatz

Anpassung des Signifikanzniveaus bei multiplem Testen.

Testete man ohne Korrektur m Hypothesen, oder die selbe Hypothese an m Stichproben, so würde man bei gegebenem Alpha Risiko mit der folgenden Wahrscheinlichkeit rein zufällig wenigstens ein signifikantes Ergebnis erhalten:

, was für grosse m gegen 1 konvergiert. (Alpha Inflation)

1. Bonferroni-Ansatz:

- "Hochschrauben des Signifikanzniveaus bzw. Herabsetzen des Alpha Risikos auf alphaHerabgesetzt = alphaEinzel/m.

Beispiel:

Wenn die Einzelfehlerwahrscheinlichkeit alphaEinzel bei 10% liegt und 5 Stichproben zu testen sind, dann liegt die Familienfehlerwahrscheinlichkeit bei 1-(1-0,1)5= 41%.

alphaEinzel/5 ergibt 2%.

Mit den neuen 2% kommt die neue Familienfehlerwahrscheinlichkeit auf 1-(1-0,02)5 = 9,6%.

Das ist ein klein wenig zu konservativ. Ausserdem werden tatsächliche Unterschiede schwerer erkannt:

Alpha Inflation ---> Beta Deflation.

2. Bonferroni-Holm-Ansatz (Sequentieller Bonferroni Ansatz):

- Testen von m individuellen Hypothesen H(1) ... H(m)
- Ermittlung der p-Werte für jede Hypothese p(1)... p(m)
- Vorgabe eines Signifikanzniveaus 1-alphaEinzel für die gesamte Theorie
- Bestimmung der k signifikanten Ergebnisse (Ablehnung der k Hypothesen) für die
  (1-p) < alphaEinzel/m gilt.
- Ermittlung eines neuen individuellen Signifikanzniveaus mit
  alphaHerabgesetzt = alphaEinzel/(m-k) und Bestimmung der signifikanten Ergebnisse mit (1- p) < alphaEinzel

- zyklisch den vorhergehenden Schritt fortsetzen bis keine Signifikanzen mehr gefunden werden.

3. Duncan: Unabhängige Hypothesen

Die Einzelfehlerwahrscheinlichkeit aEinzel wird derart herabgesetzt, dass für die Familienfehlerwahrscheinlichkeit alphaHerabgesetzt der Wert der ursprünglichen Einzelfehlerwahrscheinlichkeit herauskommt.

Danach berechnet man weiter wie bei Bonferroni.

Beispiel:

Wenn man die Einzelfehlerwahrscheinlichkeit auf 2,085% festlegt und 5 Stichproben zu testen sind, dann liegt die Familienfehlerwahrscheinlichkeit bei 1-(1-0,02085)5 = genau 10%.

Siehe auch Post Hoc Tests.

20.08.2005

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