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Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient Rho

Ein direkter Abkömmling des Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten (wird hier gezeigt),der auf ordinalem Skalenniveau zum Einsatz kommen kann.

Der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient unterstellt allerdings (gerade wegen der Eigenschaft, Abkömmling des Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten zu sein) Äquidistanz zwischen den Rangnummern, was ja eigentlich keine Eigenschaft von Rangreihen ist.

(Bei der Anwendung muss dies bedacht werden).

Wertebereich (-1.....+1).

Spearmans r ist einfacher und bekannter als Kendalls Tau, jedoch weit weniger mächtig.

Bei (selbst einzelnen) Ausreissern reagiert Spearmans r sehr empfindlich.

In solchen Fällen sollte Kendalls Tau herangezogen werden.

| Herleitung des Rangkorrelationskoeffizienten aus dem Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten.

N: Anzahl Werte der beiden gleich langen Messreihen,

di: Differenz korrespondierender Werte des Paares i.

Bei Rangbindungen ( Ties) siehe die Anmerkungen am Ende dieser Rubrik.

Unter der Nullhypothese ist r um 0 asymptotisch normalverteilt (genauer: t-verteilt).

Signifikanz kann nach folgenden beiden Formeln getestet werden:

Wendet man auf das t der linken Formel die Excelfunktion [1-TVERT(t ; n-2 ; 1)] an, so erhält man das einseitige Signifikanzniveau von r.

[1-TVERT(t ; n-2 ; 2)] liefert entsprechend das zweiseitige Signifikanzniveau von rho.

Entsprechend liefert die Excelfunktion STANDNORMVERT(u) bei der rechten Formel auf das u angewandt das einseitige Signifikanzniveau von r

Einseitig bedeutet hier jeweils, dass die Nullhypothesenformulierung lautet:

"r > 0 (oder < 0)" --> gerichtete Hypothese

Zweiseitige Formulierung würde lauten:

"r ist von Null verschieden" --> ungerichtete Hypothese

Beispiel:

X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
Y | 2 | 1 | 3 | 2 | 2 | 4 | 8
| 1 | 1 | 0 | 4 | 9 | 4 | 1

=0.74

Signifikanzprüfung (einseitig):

Nach obigen Formeln ergibt sich

t = 2,46 ---> 1-TVERT(2,46 ; 7-2 ; 1) = 97,1%

u = 1,81 ---> STANDNORMVERT(1,81) = 96,5%

In Tabellen für die Schwellenwerte von Spearmans r findet man für die einseitige 95% Schwellen ein kritisches r von 0,714 für n=7.

Rechnet man für r = 0,714, n=7 mit den obigen Excelfunktionen, so erhält man 96% bzw. 96,4%.

Beide Formeln rechnen also liberal.

Für Berechnungen sowie Tabellen für exakte Schwellenwerte für r bis n=30 siehe folgende Exceltabelle.

Für eine Gegenüberstellung Pearson'scher Korrelationskoeffizient - Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient - Kontingenzkoeffizient F siehe diese Exceldatei.

Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient kommt auch bei Trendanalysen von Messreihen zum Einsatz.

Siehe dazu Rangkorrelationstest.

Siehe auch Korrelationskoeffizient.

Siehe auch Tabelle Korrelationskoeffizienten

Anmerkungen

Liegen nennenswert viele Rangbindungen vor (>20% aller Werte), dann bekommt die ursprüngliche Formel für Spearman's Rho

folgende Gestalt:

i durchläuft alle Rangbindungsgruppen der beiden Variablen x und y. tx,i und ty,j sind die Anzahl Werte in der i-ten bzw. j-ten Rangbindungsgruppe. Signifikanzberechnungen bleiben davon unberührt.