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Gammaverteilung mit Excel Beispiel

Auf der Gamma Funktion aufbauende mathematische Verteilungsfunktion mit 2 Parametern: Formparameter k und Skalenparameter b.

Die Gammaverteilung(k) entsteht auch durch k-fache Faltung der Exponentialverteilung.

Folgende 3, auf die Zuverlässigkeitstechnik zugeschnittene Stellungnahmen sind äquivalent:

- Wie lange dauert es, bis bei einem homogenen Poissonprozess genau k Ereignisse eingetreten sind?

- Gammaverteilte Lebensdauern treten dort auf, wo Summenlebensdauern betrachtet werden, bei denen die einzelnen Abschnitte unabhängig exponentialverteilt sind mit demselben Parameter.

- Die Gammaverteilungsdichtefunktion ist die Dichtefunktion der Zeit bis zum k-ten Ereignis bei einem homogenen Poissonprozesses ( HPP), also die k-fache Faltung der Dichtefunktion der Exponentialverteilung. (Siehe auch Poissonverteilung ).

In der Zuverlässigkeitstechnik interessant, wenn eine bestimmte Fehleranzahl geduldet wird, bevor ein anrechenbaren Ausfall eintritt.

In der Zuverlässigkeitstechnik wird die Chi Quadrat Verteilung für MTBF Vertrauensintervalle benötigt.

In dieser Anwendung ist sie aber lediglich eine speziell skalierte Gammaverteilung (für die Zeit bis zum n-ten Ausfall ist ja die Gammaverteilung zuständig).

Die Chi Quadrat Verteilung tritt anstelle der Gammaverteilung nur deshalb in diesem Zusammenhang auf, weil sie historisch schon sehr lange tabelliert vorliegt, und es mathematisch möglich ist, die Gammaverteilung für das spezielle Problem der MTBF (oder Ausfallraten-) Vertrauensintervalle mit der Chi Quadrat Verteilung auszudrücken.

Wie das geht, wird hier skizziert; auf mathematische Exaktheit wird allerdings verzichtet.

Speziell auf praktische statistische Probleme zugeschnittene Variante der Gamma Verteilung ist die Erlangverteilung.

F: Verteilungsfunktion

f: Dichtefunktion

Γ: Gamma Funktion

beta: Skalenparameter, k: Formparameter, Γ(k,x/beta) bedeutet: setze x/beta anstelle x.

Erwartungswert | Varianz | Schiefe | Wölbung | Modalwert | Median | Bemerkungen
< |  |  |  |  |  |

Siehe auch Erlangverteilung, ein Spezialfall der Gammaverteilung

Für eine graphische Darstellung der Gammaverteilung siehe hier, Tabellenblatt "Gammavert".

Für eine Auflistung der Wechselbeziehungen einiger wichtiger Verteilungsfunktionen siehe hier.

Anmerkung:

Die Gamma Verteilung ist aus mathematischer Sicht äusserst vielseitig. Sie enthält einige andere Verteilungsformen als Spezialfälle.

In dieser Übersicht sind die Beziehungen diverser Verteilungsfunktionen untereinander dargestellt.

Für eine formelmässige Beschreibung der Beziehungen Gammaverteilung - Poissonverteilung - Exponentialverteilung siehe hier.