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Ereignishäufungstest

Abgrenzung:

- Ereignishäufungstest

  - Die Anzahl Intervalle ist durch äussere Bedingungen vorgegeben (z.B. Wochentage). Betrachtung der Besetzungszahl eines bestimmten Intervalls im Vergleich zu allen anderen Intervallen.

- Okkupanztest

  - Die Anzahl Intervalle ist durch äussere Bedingungen vorgegeben (z.B. Wochentage). Betrachtung der Anzahl Intervalle, die mindestens 1 Ereignis enthalten.

- Nullklassentest

  - Zerlegen der theoretischen Verteilungsfunktion in so viele gleich grosse Klassen, wie für die zu testende Verteilungsfunktion Anzahl Messwerte vorliegen. Betrachtung der Anzahl unbesetzter Intervalle.

Testet, ob in einem bestimmten (Zeit-) Intervall überzufällig mehr Ereignisse sind als in den übrigen Intervallen.

Während beim Okkupanztest lediglich nach der Anzahl besetzter Intervalle gefragt wird, wird hier explizit nach der Besetzungszahl der Intervalle gefragt.

Der Okkupanztest macht keinen Unterschied, ob alle besetzten Intervalle etwa gleich viele Ereignisse beinhalten, oder

ob die Ereignisse sich in einem Intervall besonders häufen

Der Ereignishäufungstest vergleicht die Besetzungszahl eines bestimmten (verdächtigen) Intervalls mit der Besetzungszahlsumme aller restlichen Intervalle.

Dies kann mittels 2 Varianten erfolgen:

- Binomialtest, oder

- bei grossen Häufigkeiten Chi Quadrat Test.

Die Nullhypothese bei diesem Test lautet:

"Die Ereignishäufigkeiten sind in allen Intervallen gleichverteilt".

Variante 1: Binomialtest

Hat man insgesamt n Intervalle und k Ereignisse und möchte das i-te Intervall auf Ereignishäufung testen, so gilt für die

erwartete Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im i-ten Intervall:

Mit dieser Wahrscheinlichkeit führt man den Binomialtest durch.

P ist hier die gesamte Wahrscheinlichkeit der vorliegenden Ereigniskonstellation plus aller noch selteneren Konstellationen.

Der Binomialtest wird für EIN ausgesuchtes, verdächtiges Intervall durchgeführt.

Testet man mehrere Intervalle, dann muss das Signifikanzniveau angepasst werden (-> Bonferroni)

Beispiel:

| Intervall 1 | Intervall 2 | Intervall 3 | Intervall 4
Beobachtet | 7 | 4 | 11 | 2
Erwartet | 6 | 6 | 6 | 6

Der Tabelle entnimmt man: n=4, k=24, p=0,25

Nullhypothese: "Die Ereignishäufigkeiten sind in allen 4 Intervallen gleichverteilt".

Alternativhypothese: "Die Ereignishäufigkeit in Intervall 3 (=11) ist überzufällig hoch"

Mit der Excelfunktion BINOMVERT(11;24;0.25;Wahr) erhält man 99,28%.

-> In nur 0,72% aller Fälle würde man in Intervall 3 rein zufällig eine Häufung von mindestens 11 erwarten.

Variante 2: Chi Quadrat Test

Hat man insgesamt n Intervalle und k Ereignisse und möchte das i-te Intervall auf Ereignishäufung testen, so gilt für die Erwartungswerte der Häufigkeiten:

bzw.

Mit diesen beiden Häufigkeiten und den tatsächlich gemessenen Häufigkeiten führt man den Chi Quadrat Test durch.

Der Chi Quadrat Test "sieht" dabei genau 2 Felder: das zu testende Feld und alle restlichen Felder als 2. Feld zusammengenommen.

Beispiel (selbes Beispiel wie zuvor):

| Intervall 1 | Intervall 2 | Intervall 4 | Intervall 3
Beobachtet | 7+4+2 = 13 | 11
Erwartet | 6+6+6 = 18 | 6

Anzahl Freiheitsgrade: = (Spaltenzahl-1)*(Zeilenzahl-1) =1

Nullhypothese: "Die beobachteten Ereignishäufigkeiten entsprechen den tatsächlichen".

Alternativhypothese: "Die Ereignishäufigkeit in Intervall 3 (=11) ist überzufällig anders"

( Also grösser oder kleiner. Chi Quadrat Tests erlauben im Allgemeinen keine Richtungsformulierung.)

Die Formel für den Chi Quadrat Test lautet damit:

= 5,56

Mit der Excelfunktion CHIVERT(5.56;1) erhält man 1,8%.

Dies ist als 2 seitige Wahrscheinlichkeit aufzufassen. Da hier aber nur ein Freiheitsgrad vorliegt, kann man die Prüfgrösse der Chi Quadrat Verteilung 5,56 durch Wurzelziehen in die Prüfgrösse der Standardnormalverteilung transformieren und damit eine einseitige Wahrscheinlichkeit berechnen:

= 2,36

Mit der Excelfunktion [1-STANDNORMVERT(2.36)] erhält man nun die einseitige Wahrscheinlichkeit 0,91 %.

->In nur 0,91 % aller Fälle würde man in Intervall 3 rein zufällig eine Häufung von mindestens 11 erwarten.

Siehe auch Anmerkung unter Chi Quadrat Test.

Für eine zusammenhängende Darstellung u.A. der Beziehungen Chi Quadrat Verteilung - Normalverteilung siehe hier.

Anmerkung:

Formuliert man die Hypothesen nicht für ein ganz bestimmtes Intervall, dann muss die Signifikanzschranke entsprechend erhöht werden.

Siehe dazu Multiples Testen und Bonferroni.