# Allgemeines Lineares Modell

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Das Allgemeine Lineare Modell ALM, englisch GLM, general linear model, ist ein grundlegendes Modell in der Statistik und für sich genommen noch keine spezielle statistische Methode. Auf diesem Modell bauen mehrere Methoden auf, die unter anderem hier beschrieben sind.

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Allgemeines lineares Modell (ALM, General linear Model, GLM)

Mehrere abhängige Variable n werden durch Linearkombination von gewichteten unabhängigen Variablen beschrieben.

Näheres über das Rechnen mit Matrizen siehe unter multiple lineare Regression.

- Zum besseren Verständnis wird das Modell zunächst nur mit einer abhängigen Variablen y beschrieben:

yi : i-te Realisierung der abhängigen Variable n y (i=1...4) ("der i-te Messwert y"),

xij: i-te Realisierung der j-ten unabhängigen Variablen xj (j=1...3),

bj j-ter unbekannter (zu bestimmender) Modellparameter,

ei i-ter unbekannter Fehler e.

In diesem Beispiel wurden also 4 Messwerte yi der (einen!) abhängigen Variablen y generiert.

Bei jeder der 4 Messungen von yi hatten die 3 unabhängigen Variablen xj bestimmte Werte xij inne (j=1....4).

Gesucht sind nun diejenigen Werte der Modellparameter bj , die die abhängige Variable y durch die unabhängigen Variablen xj bei möglichst kleinen Fehlern ei erklären.

- Für mehrere (hier: 2) unabhängige Variablen y gilt z.B.

yij : i-te Realisierung der j-ten abhängigen Variable n yj (i=1...5, j= 1..2),

xik: i-te Realisierung der k-ten unabhängigen Variablen xk (k=1...3),

bjk unbekannte (zu bestimmende) Modellparameter.

eij unbekannte Fehler.

In diesem Beispiel wurden also für jede der beiden unabhängigen Variablen y.1, y.2 jeweils 5 Messwerte generiert.

Bei jeder der 5 Messungen von y.j hatten die 3 unabhängigen Variablen x.1, x.2, x.3 bestimmte Werte xij inne.

Gesucht sind nun diejenigen Werte der Modellparameter bjk , die die abhängigen Variablen y.1, y.2 durch die unabhängigen Variablen xik bei möglichst kleinen Fehlern eij erklären.

Beispielsweise ist b13 derjenige Modellparameter,

der den Zusammenhang zwischen der abhängigen Variablen y.1 und der unabhängigen Variablen x.3 beschreibt.

Voraussetzungen:

- Additivität: Die einzelnen gewichteten unabhängigen Variablen addieren sich auf zum Wert der abhängigen Variablen,

- Linearität: Der Zusammenhang zwischen jeder unabhängigen Variablen und der abhängigen Variablen ist linear.

- Varianzhomogenität: Die Varianz der Fehlerterme ei ist konstant.

Folgende Tabelle gibt eine Übersicht über statistische Methoden, die auf dem allgemeinen linearen Modell basieren.

| Skalenniveau der abhängigen Variablen
Skalenniveau der unabhängigen Variablen. |  | metrisch | nicht metrisch
metrisch | Regressions-analyse | Diskriminanz-analyse
nicht metrisch | Varianzanalyse | log. lineare Modelle
gemischt | Kovarianzanalyse |

Spezialfall des allgemeinen linearen Modells :

Die Variablen sind nicht direkt beobachtbar (latente Variable).

Dafür geeignete statistische Verfahren sind beispielsweise Faktorenanalyse und Kanonische Analyse.

Für eine ausführlichere Einführung in das allgemeine lineare Modell siehe hier.

19.08.2005

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