# Kruskal Wallis Test auf Medianunterschiede

## Omnibus Test für mehr als zwei Stichproben

Ohne Frames
Der Kruskal Wallis Test ist die Erweiterung des Mann Whitney Tests auf mehr als zwei Stichproben. Es werden die Mediane der Stichproben auf Unterschied geprüft.
Diesen Omnibustest kann man als einfaktorielle ANOVA auf ordinaler Skala bezeichnen.
Zur Excelvorlage mit Signifikanztabelle
Der Meyer-Bahlburg Trendtest ist eine Sonderanwendung des Kruskal Wallis Tests.

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Kruskal Wallis Test

Erweiterung des Mann-Whitney Tests auf mehr als 2 Stichproben.

Omnibustest.

Eine einfaktorielle Rangvarianzanalyse auf ordinalem Skalenniveau.

Wesentlichste Voraussetzung ist wie beim Mann-Whithney Test, dass alle Stichproben der selben Verteilung sform unterliegen, und der Anteil an Ties nicht sehr gross ist.

Die Ermittlung der Teststatistik erfolgt aber grundsätzlich verschieden vom Mann Whitney Test.

Die Teststatistik folgt asymptoisch einer Chi Quadrat Verteilung mit k-1 Freiheitsgraden (k: Anzahl Stichproben)

Der Kruskal Wallis Test funktioniert im wesentlichen so:

1. Alle Stichproben werden in einen gemeinsamen Topf geworfen und dann die Einzelwerte in eine auf- oder absteigende Reihenfolge gebracht.

2. Jeder Einzelwert bekommt gemäss seiner Position in der Reihenfolge einen Rang zugewiesen. Der erste Rang ist 1, der nächstgrössere (oder kleinere) 2, usw. Bei Gleichheit mehrerer Messwerte wird allen betroffenen Werten ein gemeinsamer mittlerer Rang zugewiesen.

3. Die Rangsummen werden für jede der Stichproben gesondert berechnet.

4. Berechnung der Teststatistik H.

   H ist Chi Quadrat verteilt mit (k-1) Freiheitsgraden.

   Diese Formel gilt für nicht allzu viele Ties. | k | Anzahl Stichproben
   n | Anzahl aller Einzelwerte in allen Stichproben
   ni | Grösse der i-ten Stichprobe
   Oder vereinfacht, falls höchstens 1 Tie je Stichprobe vorliegt:
   Ri | Rangsumme der i-ten Stichprobe
   Ti | Anzahl Ties in der i-ten Stichprobe

Beispiel:

0. Urwerte:

Messreihe_1 | 1 | 4 | 7 | 10 | 13 | 16
Messreihe_2 | 4 | 5 | 8 | 11 | 14 | 15
Messreihe_3 | 2 | 6 | 10 | 11 | 15 | 18

1.+2. Gemeinsame Rangreihe:

Messwert | 1 | 2 | 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 | 10 | 11 | 11 | 13 | 14 | 15 | 15 | 17 | 18
Rang | 1 | 2 | 3.5 | 3.5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9.5 | 9.5 | 11.5 | 11.5 | 13 | 14 | 15.5 | 15.5 | 17 | 18

3. Rangmittelwerte:

Rangsumme der Messreihe 1 | = (1+3.5+7+9.5+13+17) | = 51
Rangsumme der Messreihe 2 | = (3.5+5+8+11.5+14+15.5) | = 57.5
Rangsumme der Messreihe 3 | = (2+6+9.5+11.5+15.5+18) | = 62.5

4. Berechnung der Teststatistik.

| Messreihe 1 | Messreihe 2 | Messreihe 3
Anzahl Messwerte/Stichprobe | N1 = 6 | N2 = 6 | N3 = 6
Anzahl aller Messwerte | N=18
Rangsummen | 51 | 57.5 | 62.5
Anzahl Ties/Stichprobe | 0 | 0 | 0
Teststatistik | H = 12/(18*19)*[(512)/6 + (57.52)/6 + (62.52)/6] - 3*19 = 0.389
Anzahl Freiheitsgrade | k-1 = 2
Signifikanzniveau | 17.67%, also alles Andere als signifikant, was man schon durch Betrachten der oben stehenden gemeinsamen Rangreihe mit blossem Auge vermutet. "Signifikant" wäre z.B. 90%.

Das Signifikanzniveau wurde mit der Excelfunktion 1-CHIVERT(5,038;2) berechnet.

Für eineBerechnung des Kruskal Wallis Tests mit Excel siehe hier.

Anmerkung:

Abgesehen von den in Post-Hoc-Test s vorgeschlagenen Einzelvergleichen (Mann-Whitney Tests mit

Bonferroni Adjustierung) gibt es ein spezielles Einzelvergleichsverfahren nach Schaich-Hamerle.

Wird zwischen den Stichproben ein Trend vermutet, so kann der Jonckheere Terpstra Test angewandt werden.

Eine Spezialanwendung des Kruskal Wallis Tests wird unter Meyer-Bahlburg Test beschrieben.

Diese Spezialanwendung wird für Trendanalysen bei Zeitreihen herangezogen.

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10.04.2006