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Axiom mit Beispielen

Ein Axiom ist eine grundlegende Aussage, die in dem Begriffssystem, das das Axiom begründet, nicht beweisbar ist und die Ausgangspunkt für alle weiteren Überlegungen ist.

Axiome müssen einfach und gut begründet sein.

Axiome sind minimal anmutende Annahmen, ohne die der Aufbau von Theorien nicht möglich wäre.

Würde man innerhalb einer Begriffswelt konsequent immer wieder nach der Ursache fragen, so würde man irgendwann bei den Axiomen dieser Begriffswelt landen, wo die Frage nach der Ursache nicht mehr beantwortet werden kann.

"Das ist dann einfach so".

Beispiel 1

Wahrscheinlichkeitstheorie: Axiomensystem von Kolmogoroff.

1. Wahrscheinlichkeiten sind nicht negativ.

   Ein Axiom ist eine grundlegende Aussage, die in dem Begriffssystem, das das Axiom begründet, nicht beweisbar ist und die Ausgangspunkt für alle weiteren Überlegungen ist.

   Axiome müssen einfach und gut begründet sein.

   Axiome sind minimal anmutende Annahmen, ohne die der Aufbau von Theorien nicht möglich wäre.

   Würde man innerhalb einer Begriffswelt konsequent immer wieder nach der Ursache fragen, so würde man irgendwann bei den Axiomen dieser Begriffswelt landen, wo die Frage nach der Ursache nicht mehr beantwortet werden kann.

   "Das ist dann einfach so".

   Beispiel 1

   Wahrscheinlichkeitstheorie: Axiomensystem von Kolmogoroff.

2. Wahrscheinlichkeiten sind nicht negativ.

3. Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist 1

4. Bei sich gegenseitig ausschliessenden Ereignissen ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeines dieser Ereignisse eintritt gleich der Summe aus den Einzelwahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Man erkennt an dem Beispiel, dass Axiome bei flüchtiger Betrachtung minimal, "selbstverständlich", oder gar "logisch" erscheinen.

Es ist aber in der Tat so, dass alle sich in der Wahrscheinlichkeitstheorie ergebenden Sachverhalte auf diese 3 Axiome zurückführbar sind.

Beispiel 2

Spezielle Relativitätstheorie ("Zwillingsparadoxon")

1. Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Bezugssystemen konstant

2. Es gibt kein ausgezeichnetes Bezugssystem.

Allein aus diesen beiden Axiomen folgen alle hinlänglich bekannten "Paradoxa".

Dieses Beispiel zeigt besonders deutlich, welch weit reichende Konsequenzen scheinbar elementare Axiome haben können.

Beispiel 3:

Allgemeine Relativitätstheorie.

1. Träge Masse = schwere Masse.

Dieses aus nur einem Axiom bestehende Axiomensystem ist sowohl an Einfachheit als auch an seinen gravierenden Konsequenzen nicht zu überbieten.

2. Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist 1

3. Bei sich gegenseitig ausschliessenden Ereignissen ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeines dieser Ereignisse eintritt gleich der Summe aus den Einzelwahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Man erkennt an dem Beispiel, dass Axiome bei flüchtiger Betrachtung minimal, "selbstverständlich", oder gar "logisch" erscheinen.

Es ist aber in der Tat so, dass alle sich in der Wahrscheinlichkeitstheorie ergebenden Sachverhalte auf diese 3 Axiome zurückführbar sind.

Beispiel 2

Spezielle Relativitätstheorie ("Zwillingsparadoxon")

1. Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Bezugssystemen konstant

2. Es gibt kein ausgezeichnetes Bezugssystem.

Allein aus diesen beiden Axiomen folgen alle hinlänglich bekannten "Paradoxa".

Dieses Beispiel zeigt besonders deutlich, welch weit reichende Konsequenzen scheinbar elementare Axiome haben können.

Beispiel 3:

Allgemeine Relativitätstheorie

1. Träge Masse = schwere Masse.

Dieses aus nur einem Axiom bestehende Axiomensystem ist sowohl an Einfachheit als auch an seinen gravierenden Konsequenzen nicht zu überbieten, und hat die Physik bei weitem mehr revolutioniert als die in populären Kreisen wesentlich bekanntere spezielle Relativitätstheorie.