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Logarithmus für Dummies

 

Es gibt unterschiedliche Methoden, Zahlen miteinander zu vergleichen, sie in eine Relation zu setzen. Oft ist es eine Frage der Sichtweise, meistens aber ergibt sich die "richtige" Methode aus der Natur des zugrunde liegenden Sachverhaltes. 
In diesem Kapitel wird versucht, einen möglichst einfachen Zugang zum Logarithmus herzustellen, indem bewusst gemacht wird, dass  jeder Mensch täglich mit ihm umgeht, ohne es vermutlich zu merken.


Beispiel 1:


1 Packung Haargummis

1 Kleinwagen
Regulärer Preis:
2 €
Sonderangebot:
1 €
Regulärer Preis:
10.000 €
Sonderangebot:
9.999 €


Warum fühlen wir uns beim Sonderangebot des Kleinwagens veräppelt, wo doch der eingesparte Betrag derselbe ist wie bei den Haargummis, nämlich 1 € ?

Weil wir -aus irgend einem Grund- der Ansicht sind, dass nicht die absolute, sondern die relative Einsparung massgebend ist, also 50% bei den Haargummis gegenüber lediglich 0,01% beim Kleinwagen. Aber warum eigentlich?


Hier der Versuch einer Erklärung:

Würden wir 5.000 Packungen Haargummis bei regulärem Preis kaufen, dann würden wir genauso viel Geld ausgeben wie für den Kleinwagen, jedoch 5.000 € gespart gegenüber nur 1 € beim Kleinwagen.

Der eigentliche Grund ist also, dass wir zuerst die absoluten Preise vergleichbar machen, und danach erst überlegen, wieviel wir gespart hätten. 

Oder anders herum: Wollten wir beim Kauf von Kleinwagen 5.000 € sparen, müssten wir fast 50 Millionen € (für 5.000 Kleinwagen) ausgeben im Vergleich zu lediglich 5.000 Euro für 5.000 Packungen Haargummis.



Beispiel 2:


Warum gibt es Euro-Währungseinheiten nur in den folgenden Grössen:

1ct, 2ct, 5ct, 10ct, 20 ct, 50 ct, 1€, 2€, 5€, 10€, 20€, 50€, 100e, 200€, 500 € ?

Im Klartext:
Warum gibt es z.B. keine 90 ct Münzen, 27 € Scheine, 380 € Scheine, usw? 


Man könnte in Analogie zu den Wägestücken früherer Waagen, wie folgt argumentieren:

"Mit einer derartigen Staffelung bleibt die Vielfalt der Einheiten einerseits überschaubar (und ist damit inhärent ein Stück weit fälschungssicher), andererseits kann man jeden beliebigen Geldbetrag mit relativ wenigen Einheiten abbilden"

Beispielsweise den Betrag 191,73 € mit 100€ +50€ + 20€ + 20€ + 1€ + 50ct + 20ct + 2ct + 1ct, also insgesamt 9 Einheiten.


Etwas vereinfacht kann man sagen, dass im existierenden Bargeldsystem die nächstgrössere Einheit immer den doppelten Betrag aufweist.

Offensichtlich ist das praktisch, denn man kann jeden beliebigen Betrag ohne besonders nachzurechnen geschwind hinblättern.

Gedanklich läuft das ungefähr so ab:

Zuerst der Bereich der Tausender (sofern vorhanden), dann der Bereich der Hunderter, Zehner, Einer, Zehntel, Hundertstel. In jedem Bereich stehen die Werte 5, 2 und 1 zum Auffüllen zur Verfügung, was einfach genug ist um in Echtzeit im Kopf bewältigt zu werden.

Offenbar ist dieses System praktisch, "obwohl", oder gerade weil es logarhithmisch aufgebaut ist, wie man im Folgenden sehen wird:

Notenwert [in ct]
1
2
5
10
20
50
100
200
500
Formelergebnis
1
1,903
3,097
4,000
4,903
6,097
7,000
7,903
9,097
Gerundetes Formelergebnis
2
3
4
5
6
7
8
9










Notenwert [in ct] 1.000
2.000
5.000
10.000
20.000
50.000



Formelergebnis 10,0
10,9
12,1
13,0
13,9
15,1



Gerundetes Formelergebnis 10
11
12
13
14
15







Die erste Zeile der Tabelle gibt den Notenwert in Cent an. Die zweite Zeile enthält ein Formelergebnis, das direkt aus den Notenwerten berechnet wurde.
In der letzten Zeile sind die gerundeten Formelergebnisse dargestellt.
Offenbar stehen in der letzten Zeile gerade die Ränge der Noten nach Grösse sortiert; Kleinste zuerst. Der 500 Euro Schein (=50.000 ct) ist demnach der 15. Notenwert, gerechnet ab der 1 ct Münze.
Die Formel lautet: Beispiel 2:


Beispiel 50ct Münze: 2,1544(6-1) = 50

Löst man die Beziehung auf nach dem Formelergebnis, also dem Rang, dann erhält man den Logarithmus:



In einfachen Worten:
"2,1544 hoch wieviel ergibt den Notenwert 50ct? --> 5. Dann noch +1 --> 6. Also ist die 50 ct Münze dem Rang nach die 6.

Die additive Konstante 1 dient lediglich dazu, dass man bei 1 und nicht bei Null anfängt.
Der Rest der Formel ist einfach der Logarithmus des Notenwertes zur Basis 2,1544, was nichts anderes ist als "2.1544 hoch wieviel ergibt den Notenwert".

Wem das zu kompliziert ist, der kann sich vielleicht folgendes merken:
"Der Logarithmus des Wertes einer Note ergibt ihren Rang" (fast richtig).
"Logarhithmisch aufgebaute Notenwertsysteme sind für Menschen besonders gut handhabbar" (fast richtig).


Dieses Beispiel zeigt also, dass von Menschen leicht handhabbare Bargeldsysteme annähernd logarhitmisch aufgebaut sind.
Annähernd deshalb, weil ein exakt logarhithmisches System "krumme" Werte ergeben würde, mit denen Menschen nur schwer umgehen könnten.
Dass auch die menschlichen Sinne, insbesondere Sehen und Hören, ebenfalls logarhithmisch wahrnehmen, wird im Kapitel Lautstärke genauer erklärt.  


Mathematisch optimaler, für Menschen allerdings nahezu unbrauchbar, wäre folgende Staffelung:
1ct, 2ct, 4ct, 8ct, 16ct, 32ct, 64ct, 1,28€, 2,56€, 5,12€, 10,24€, 20,48€, 40,96€, 81,92€, 163,84€, usw, also immer genau eine Verdoppelung.

Der Betrag  191,73 würde sich dann wie folgt zusammensetzen:
163,84€ + 20,48€ + 5,12€ + 1,28€ + 64ct + 32ct + 4ct + 1ct, also insgesamt nur 8 Einheiten im Gegensatz zu 9 Einheiten im existierenden System. 
Das ist jetzt kein Zufall; das letzgenannte System ist tatsächlich optimaler, was sich auch mathematisch zeigen lässt. 
(Allerdings: In der Zeit, die der Verfasser gebraucht hat, im optimalen System die richtigen Elemente für die Darstellung von 191,73€ ausfindig zu machen, hätte er die Elemente im existierenden System mindestens 10 mal identifiziert.)

Mit diesem "optimalen" System ergäbe sich folgende Tabelle:

Notenwert [in ct]
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
Formelergebnis 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10











Notenwert [in ct] 1.024
2.048
4.096
8.192
16.384
32.768




Formelergebnis 11
12
13
14
15
16





Die erste Zeile der Tabelle gibt wieder den Notenwert in Cent an. Die zweite Zeile enthält ein Formelergebnis, das direkt aus den Notenwerten berechnet wurde.
Da die Stückelung optimal ist, braucht das Formelergebnis nicht mehr gerundet zu werden, denn es ist schon rund.
Offenbar stehen in der zweiten Zeile wieder die Ränge der Noten nach Grösse sortiert; Kleinste zuerst. Der 327,68 Euro Schein (=32.768 ct) ist demnach der 16. Notenwert, gerechnet ab der 1 ct Münze.
Die Formel lautet:


Beispiel 64ct Münze: 2(7-1) = 64

Löst man die Beziehung auf nach dem Formelergebnis, also dem Rang, dann erhält man:



In einfachen Worten:
"2 hoch wieviel ergibt den Notenwert 64ct? --> 6. Dann noch +1 --> 7. Also ist die 64 ct Münze dem Rang nach die 7.

Die additive Konstante 1 dient wieder nur dazu, dass man bei 1 und nicht bei Null anfängt.
Der Rest der Formel ist jetzt einfach der Logarithmus des Notenwertes zur Basis 2, der ZweierLogarithmus des Notenwertes. 
Ein Hochzählen des ZweierLogarithmus um eins bedeutet die Ver-2-fachung des Notenwertes.

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