Zur Hauptseite  ..\..\..\          Zu Didaktisches ..\..\          Zu Physik  ..\ 

 

Unschärferelationen in der klassischen Physik, in einfachen Worten

Dieses Kapitel soll auf die Unschärferelationen in der Quantenmechanik vorbereiten, indem es gewisse Begrifflichkeiten auf klassische Weise betrachtet.

Da es hier um eine Formel geht (Unschärferelationen SIND Formeln), kommen die folgenden Erklärungen natürlich nicht gänzlich ohne Formeln aus.


Es gibt Unschärferelationen im Makroskopischen, zum Beispiel in der Akustik:

Um einem (musikalischen) Ton eine exakte Frequenz zuordnen zu können, müsste er unendlich lang klingen. Am einfachsten stellt man sich das so vor:
Man nehme einen endlich langen Ton, sagen wir 100 Hz für die Dauer von genau 1 Sekunde. Jetzt könnte man meinen, bei 100 Hz und 1 s passen genau 100 Schwingungen hinein; das Ganze "geht also auf", und der Ton müsste "rein" sein (gerade aus dem Grund wurde das Beispiel so gewählt).
Dem ist aber nicht so. Obwohl es scheinbar aufgeht ist der Ton nicht rein, sondern innerhalb eines (in diesem Fall kleinen) Frequenzbereichs undefiniert.
Warum?
In der Natur gibt es nämlich keine "aus dem Nichts" beginnenden, also schlagartig einsetzenden Töne; es ist immer ein so genannter Einschwingvorgang zu beobachten, der selbst keine scharfe Frequenz hat, sondern ein Gemisch aus vielen Frequenzen bildet. Selbst der sauberste Ton kommt nicht ohne Einschwingvorgang aus. Dies ist keine Folge von technischen oder praktischen Gegebenheiten, sondern hat grundsätzliche physikalische Gründe (die hier zu weit führen). Übrigens prägt der Einschwingvorgang unser musikalisches Empfinden entscheidend mit ("Attack", "Ansingen")
Die bisherige Erklärung sollte zeigen, dass, wenn "es aufgeht",  es trotzdem zu keinem reinen Ton kommt.

Nun zum Normalfall: "Es geht nicht auf". Anstatt eines krummen Zahlenbeispiels nehmen wir einfach an "100 Hz und knapp 1 Sekunde".
Die Folge ist - abgesehen vom Einschwingvorgang-, dass die letze Schwingung nicht mehr ganz hineinpasst. Wenn es z.B. 99,3  ganze Schwingungen sind, dann liegen die nächstmöglichen "reinen" Fälle bei 99 und 100 Schwingungen. Die resultierende Unschärfe beträgt also 100-99 = 1 Hz.
Das scheint nicht besonders viel, aber nehmen wir mal einen Rockbass an, der "gerade Achtel", sagen wir 4 Töne pro Sekunde "tiefes A" (55 Hz) spielt. (Anmerkung: Sowas hört man
täglich 100 Mal im Radio).
Jeder Ton dauert 1/4 Sekunde; bei 55 Hz passen dann genau 13,75 Schwingungen in das Zeitfenster hinein. Die nächstmöglichen "reinen" Fälle lägen bei 13 oder 14 Schwingungen.
Jetzt muss man nur noch berücksichtigen, dass Tonhöhen in Hz gemessen etwas Relatives sind: Der Unterschied bzw. die Spanne zw. 13 und 14 Schwingungen liegt bei (14-13)/14 = 1/14. --> das ist bereits etwas mehr als ein Halbton! 
--> So gespielte Töne sind im Bereich eines Halbtons unscharf!
Jetzt nehmen wir ein tief gespieltes schnelleres Basssolo, sagen wir 8 Töne /Sekunde. Die Unschärfe verdoppelt sich nun auf 1/7, was schon etwas mehr als einem Ganzton entspricht!  --> Es ist fast egal, ob sich der Bassist da öfters um einen Halbton verspielt, denn es gibt rein akustisch keine Möglichkeit, dies festzustellen (und entspricht nebenbei auch der musikalischen Realität: Man hört es definitiv nicht). Erst wenn der Bassist in mittlere oder gar höhere Lagen vorstösst, muss er wirklich aufpassen wohin er greift. 
Die letzten Ausführungen erklären auch, weshalb tiefe Töne quer über alle Musikrichtungen tendenziell langsamer gespielt werden als hohe: Für ein reines Tonerlebnis ist ganz einfach mehr Zeit erforderlich, tiefe Töne brauchen länger, um sich zu entfalten, sie müssen "einschwingen".

Alles bisher Gesagte kann man in folgende Formel fassen:

Delta [Frequenz] x Delta [Zeitdauer] ~ 1

Wenn man die Zeitdauer für einen Ton als gegeben annimmt, dann kann man die Frequenzunschärfe berechnen:
Delta [Frequenz] ~ 1 / Delta [Zeitdauer]


Mit den bisher beschriebenen Zahlenbeispielen erhält man:
1 Hz ~ 1 / 1 Sekunde
4 Hz ~ 1 / 1/4 sekunde

8 Hz ~ 1 / 1/8 Sekunde

Als Musiker kann man das alles übrigens leicht experimentell nachprüfen. Am besten funktioniert es mit grösseren Stahlsaiten-Instrumenten, also z.B. Westerngitarre, Cello, Kontrabass.
Man sucht sich zunächst einen Ton aus, auf den das Instrument durch Resonanz reagiert. Dann singt man diesen Ton laut und mindestens 2 Sekunden lang: Das Instrument wird hörbar mitschwingen. Nun singt man etwas daneben; mit hoher Wahrscheinlichkeit wird das Instrument nicht darauf reagieren, und wenn doch, dann versucht man einen anderen Ton zu finden, auf den das Instrument NICHT reagiert.
Jetzt kommts: Wenn man diesen Ton nur ganz kurz ansingt, dann reagiert das Instrument auf einmal doch, möglicherweise sogar mit mehreren Frequenzen. Oft funktioniert das sogar z.B. mit Händeklatschen. Der Grund warum das so ist, liegt in dem sehr kleinen Delta [Zeitdauer], das ein relativ grosses Delta [Frequenz] zur Folge hat. Das kurze Ansingen bzw. das Händeklatschen ist auf der Frequenzskala so undefiniert, dass sich ein grösserer Frequenzbereich auf Instrumentenseite im wahrsten Sinne des Wortes "angesprochen" fühlt.
 
Das bisher Beschriebene fällt in den Bereich der klassischen Physik, und kann sogar mit Hausmitteln nachgemessen werden.
Obwohl es sich um eine Unschärferelation handelt, wird dies nirgends so bezeichnet.

Datenschutzhinweise