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Fehlerfortpflanzungsgesetz mit Beispiel

 

Siehe auch Toleranzkette.

Obwohl beide Begriffe ein ähnliches Gebiet meinen, wird in diesem Glossar auf beide Begriffe separat und in unterschiedlicher Weise eingegangen.

 

Beim Fehlerfortpflanzungsgesetz geht es um Folgendes: 

Es werden mehrere Messgrössen gemessen. Jede Messgrössse sei mit einer Streuung behaftet. 

Aus den Messgrössen wird mittels eines Rechenausdruckes eine Ergebnisgrösse berechnet. 

Frage: Welche Streuung hat die Ergebnisgrösse? 

Um es vorweg zu nehmen: Mit einfacher Addition (arithmetisch oder geometrisch) liegt man fast immer falsch. 

Das Ergebnis kann optimistisch oder auch pessimistisch sein.

 

Um zum Fehlerfortpflanzungsgesetz zu kommen, ist das Verständnis der Ausgleichsrechnung wichtig.

 

Die  Ausgleichsrechnung behandelt den Einfluss auschliesslich nicht-systematischer, also zufallsbedingter Messfehler auf die DIREKTEN Messergebnisse, sowie den daraus resultierenden Einfluss auf die daraus berechneten INDIREKTEN Messergebnisse. 

Beispiel: 

Messung der Fläche eines Rechtecks. Die Seitenlängen sind die direkten (oder auch vermittelnden) Messergebnisse, da sie unmittelbar gemessen werden. Der Flächeninhalt ergibt sich als Rechengrösse indirekt aus dem Produkt der beiden Seitenlängen. 

Die Messfehler der direkten Messergebnisse (Seitenlängen) wirken sich "irgendwie" auf das indirekte Messergebnis (Flächeninhalt) aus. 

Dies wird auf mathematische Weise durch das Gauss'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz widergespiegelt (folgt weiter unten). 

 

Zufallsbedingte und systematische Messfehler

 

Zufallsbedingte Messfehler sind solche, auf deren Natur man mit der gegebenen Messausrüstung keinen Einfluss hat.


Anmerkung: Oder keinen Einfluss nehmen WILL. Das führt hier zu weit. Siehe in der Vertiefung der Rubrik Taguchi: "Störvariable"

Im Rahmen dieser Messfehler sind die Messungen demnach Resultate von Zufallsexperimenten

Beispiele:

Messlatte kann nicht reproduzierbar an Halterung befestigt werden, Thermometer ist schwankenden (nicht im Rahmen des Messaufbaus kontrollierbaren) Bedingungen ausgesetzt (Luftzug, Feuchte,..), der Umfüllprozess bei der Volumenmessung verläuft manuell und es wird "manchmal etwas" verschüttet.

Systematische Messfehler sind solche, die in allen Messungen in gleicher Weise auftreten, die die Messungen in eine bestimmte Richtung um einen bestimmten Betrag verfälschen. 

Beispiele:

Zu kurze Messlatte, Thermometer zeigt immer 1 Grad zu wenig an, bei Volumenmessung wird technisch bedingt immer die selbe Menge verschüttet. 

Wie man aus zuvor genannten Beispielen sieht, ist die Abgrenzung Zufällige Messfehler - Systematische Messfehler nicht naturgemäss vorgegeben, sondern hängt vom Messaufbau und der Messprozedur ab. 

 

Für die Ausgleichsrechnung (oder Fehlerrechnung) sind ausschliesslich die zufallsbedingten Messfehler von Bedeutung, da nur sie sich "statistisch" verhalten.

 

Im Folgenden werden Messfehler als normalverteilt angenommen.

Normalverteilung ist gleichbedeutend mit der Annahme sehr vieler zufallsbedingter unabhängiger Einflüsse.

Siehe hierzu auch zentraler Grenzwertsatz.

Normalverteilte Messergebnisse lassen sich durch einen Mittelwert und eine Standardabweichung beschreiben.

Der Mittelwert ist hierbei der wahrscheinlichste Messwert, also derjenige Wert, den man erhält, wenn man die Messwerte aller Wiederholungsmessungen mittelt.

Die Standardabweichung ist die "Streubreite" der bei den Wiederholungsmessungen generierten Messwerte.

 

Die Angabe von Messwerten nimmt also folgende Gestalt an:

Messwert = [Wert] +/- Standardabweichung.

In diesem Intervall liegen etwa 68% aller Messwerte.

 

Das Gauss'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz kommt dann ins Spiel, wenn man von der Messunschärfe der direkten (oder vermittelnden) Messergebnisse (~Kantenlängen) auf die Messunschärfe des daraus gewonnenen indirekten Ergebnisses (~Flächeninhalt) schliessen will.

Das Gauss'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz hat folgende Gestalt:

Fehlerfortpflanzungsgesetz Hier bedeuten:

Xi: Direkt zu messende Messgrössen (grossgeschrieben, weil die Variablen und nicht deren Realisationen gemeint sind).

si: Die zu den Variablen Xi gehörenden Standardabweichungen.

h: Die indirekte Messgrösse, also ein bestimmter funktionaler Zusammenhang der Xi mit der indirekten Messgrösse.

ist die nach dem ersten Glied abgebrochenen Taylorentwicklung der indirekten Messgrösse h nach der direkten Messgrösse X1

Das Gauss'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz ist also eine Näherung erster Ordnung!

Die Ableitung von h muss an der Stelle xquer erfolgen.

In die Ableitung von h ist also für X der Wert xquer einzusetzen.

Entsprechendes gilt für die anderen direkten Messgrössen Xi.

 

Beispiel

Parallelschaltung von 2 ohmschen Widerständen R1 und R2.

Messung der beiden einzelnen Widerstände.

R1 = 100 +/-1 Ohm, also s1 = 1 Ohm

R2 = 200 +/- 2 Ohm, also s2 = 2 Ohm

Wie gross ist der Gesamtwiderstand und welche Standardabweichung hat er?

 

a) Berechnung des Mittelwertes

Für die Parallelschaltung gilt bekanntlich:

Fehlerfortpflanzung Beispiel = 66,7 Ohm

 

Rgesamt entspricht h in der Formel des Gauss'sche Fehlerfortpflanzungsgesetzes.

 

b) Berechnung der Standardabweichung

 

Fehlerfortpflanzung Beispiel   =  0,44 

 Fehlerfortpflanzung Beispiel  =  0,11    (Beide Ableitungen nach Quotientenregel)

 

Fehlerfortpflanzung Beispiel = 0,492 Ohm

 

Ergebnis:

Rgesamt = 66,7 +/- 0,49 Ohm

 

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