Geschwisterparadoxon

Im statistischen Kontext ist die 1/2 Lösung eindeutig zu bevorzugen, da sie keine Annahmen macht, die über die Rätselformulierung hinausgehen: Sie sieht nämlich von einer Selektion zu einem Zeitpunkt vor der Fragestellung ab.

Eine Information, die für das Rätsel unerheblich ist, ist die Wahrscheinlichkeit eines Paares überhaupt schwanger zu werden. Darauffolgend ergibt sich dann erst die Frage nach dem Geschlecht. Ab einem bestimmten Alter und unter gewissen Umständen ist die Wahrscheinlichkeit geringer oder höher, dass es zu einer Schwangerschaft kommt. Auch durch die unterschiedlichen Arten der Empfängnisverhütung wird die Wahrscheinlichkeit minimiert. Die Wirksamkeit und Zuverlässigkeit von Verhütungsmethoden wird anhand des Pearl-Index gemessen. Dieser bezieht sich auf 100 Frauen, die ein Verhütungsmittel anwenden. Ein Indexwert von 1 besagt, dass eine Frau im Jahr schwanger wird, obwohl sie das Verhütungsmittel anwendet. Laut dem Pearl-Index liegt die Wirksamkeit der Pille bei 0,1-0,9, das heißt, dass eine bis neun von 1000 Frauen innerhalb eines Jahres trotz Einnahme schwanger werden. Der Index des Kondoms bei 2-12, sprich es werden 2 bis 12 Frauen trotz Anwendung schwanger. Der Index einer Vasektomie liegt bei 0,1, was bedeutet, dass nach einem Vasektomie Eingriff beim Mann bloß statistisch gesehen ein Paar von 1000 innerhalb eines Jahres schwanger wird.

Dieser Exkurs zur Empfängnisverhütung und der Wahrscheinlichkeit einer eintretenden Schwangerschaft würde jedoch in eine andere Richtung führen und ist für das hier dargestellte Rätsel nicht weiter relevant.

Während in einschlägiger Statistikliteratur 1/3 als die richtige Lösung propagiert wird, ist nach Auffassung des Verfassers ½ richtig.

Der Verfasser ist der Ansicht, dass 1/3 allerhöchstens in einem rein mathematisch abstrakten und dabei trivialen Kontext richtig sein kann, der in der realen Welt keine Entsprechung hat,

und dass alle Versuche, dieses Rätsel in eine begreifbare Alltagswelt zu übersetzen entweder trivial ausfallen, oder zu 1/2 führen.

"Im Bus sind 2 Leute. 3 steigen aus. Wieviele Leute müssen einsteigen, damit der Bus leer ist? -->Einer."

Der Grund für kontroverse Lösungsdiskussionen liegt in der Bedeutung der Aussage "Eines davon ist ein Mädchen", welche sich auf BEIDE Kinder bezieht. Man darf sich also nicht ein Kind "aussuchen", auf das sich diese Information beziehen soll, denn damit würde man zusätzliche, ursprünglich nicht gegebene Information hineinbringen. Dies ist der wesentliche Gedankengang der 1/3 Befürworter.

Als 1/3 Befürworter mag man das Rätsel mit Hilfe des folgenden Gedankenexperiments vollständig und richtig abgebildet sehen:

Wenn man sich statt der Geschwisterpaare Münzenpaare denkt, in denen die Münzen wahlweise Kopf (K) oder Zahl (Z) zeigen können, dann wird die Lösung 1/3 angeblich noch klarer: Nimmt man nämlich alle KK-Paare aus der Grundgesamtheit heraus (was der Information „eines ist ein Mädchen“ entspricht), dann hat genau 1/3 der übriggebliebenen Paare die Konstellation ZZ. Alle übriggebliebenen Paare haben nun mindestens ein Z, demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit für ZZ genau 1/3.

An dieser Stelle sei bereits auf die Anmerkung unter Bertrand's Kästchenparadoxon verwiesen, aus der hervorgeht, dass die zuvor geschilderte Argumentation angezweifelt werden darf.

entspricht nach Auffassung des Verfassers nicht den geschilderten Gedankenexperimenten. Das Rätsel kann nämlich nur in 3/4 aller denkbaren Fälle überhaupt so gestellt werden. Klarer wird dies, wenn man das Rätsel ein klein wenig ausschmückt, ohne es mathematisch zu verändern:

So richtig greifbar klar wird es, wenn man sich als Mieter eines Hochhauses vorstellt, jede Woche eine Familie mit genau 2 Kindern in eine der Wohnungen einzieht und der Hausverwalter dem Mieter jedesmal die Information

Nach der Logik der 1/3 Befürworter würden etwa 2/3 der Familien gemischtgeschlechtliche Kinder haben, und nur 1/3 gleichgeschlechtliche.

Es ist klar, dass der Vorgang „Familie zieht in Wohnung ein“ VOR dem Stellen des Rätsels stattgefunden haben muss.

Anders formuliert: Hätte man aus einer Grundgesamtheit ein JJ-Paar gezogen, dann kann man dies nicht einfach ignorieren.

Das Rätsel kann also im Falle JJ nicht in der beschriebenen Form gestellt werden, oder umgekehrt betrachtet hätte man im Falle der Konstellation JJ gefragt: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch das andere Kind ein Junge?

Zu beachten ist auch, dass man bei den Konstellationen JM und MJ zwei Möglichkeiten der Fragestellung hat.

Einschränkungen oder zusätzliche Informationen können demnach nur NACH dem Ziehen gemacht werden, und diese werden je nach Ziehung nicht immer gleich ausfallen können. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Bemerkung „eines davon ist ein Mädchen“ keine Einschränkung im Sinne eines real ablaufenden Experiments darstellt, weil sie sich erst nach einer erfolgten Ziehung ergeben kann. Im Hinblick auf die in Nachbar`s Wohnung eingezogene Familie steht die Konstellation schon fest, bevor jemand auf die Idee kommt, das Rätsel überhaupt zu stellen. Hier sind alle Konstellationen JJ, MM, MJ, JM gleich wahrscheinlich, und daran ändert auch eine nachträgliche Feststellung „eines ist ein Mädchen“ nichts, da zu diesem Zeitpunkt die Würfel bereits gefallen sind.

In vielen Quellen wird dem bisher diskutierten Rätsel eine dem Folgenden entsprechende Variante gegenübergestellt:

Nun ist dasjenige Kind, das ein Mädchen sein soll, klar identifiziert- so wird in diversen Quellen zumindest argumentiert. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das andere Kind nun ebenfalls ein Mädchen sein soll, - wird weiterhin argumentiert-, liegt nun bei 1/2.

Zwar wird nun ein Bestimmtes der beiden Kinder als Mädchen ausgewiesen, aber der Aussenstehende weiss ja immer noch nicht, welches das Mädchen sein soll. Für einen Aussenstehenden, der das Rätsel lösen soll, macht es definitiv keinen Unterschied, ob "eines der beiden" oder "das ältere" ein Mädchen ist.

Die Lösung ist hier ebenfalls 1/2, aber nicht mit der Begründung, dass das Mädchen klar identifiziert sei.