Spearmans Rangkorrelationskoeffizient oder Spearmans Rho
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Herleitung aus dem Bravais Pearsonschen Korrelationskoeffizienten

Spearmans Rho, Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient ist nicht etwa ein eigenständiges Mass, sondern ein direktes Derivat des Bravais Pearsonschen bzw. Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten. Hier wird der Zusammenhang aufgezeigt, indem Spearmans Rangkorrelationskoeffizient aus demPearsonschen Korrelationskoeffizienten hergeleitet wird.

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Wie berechnet sich der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient aus dem Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten ?

Man geht vom Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten aus

Produkt-Moment Korrelationskoeffizient  (Cov = Kovarianz), 

welcher auch wie folgt geschrieben werden kann Produkt-Moment Korrelationskoeffizient, xquer und yquer: Erwartungswerte.

Mit ausmultipliziertem Zähler ergibt das Produkt-Moment Korrelationskoeffizient   (1)

 

Beim Spearman'schen Rangkorrelationskoeffizienten muss man sich vor Augen halten, dass sowohl die xi als auch die yi vollständige, aus ganzen positiven Zahlen bestehende Reihen sind, also z.B.für n=9: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

 

In der Rubrik Ordnungsstatistik findet man für solche Zahlenreihen folgende Kenngrössen:

Mittelwert (Erwartungswert) Spearman Rho Mittelwert   -->    xquer = yquer = (n+1)/2     (2)
Varianz Spearman Rho Varianz   -->   ,       (3)
Summe       -->   ,       (4)
Quadratesumme    -->    ,        (5)

Als ersten Schritt löst man die  binomnische Beziehung nach S2xiyi auf und setzt dies in (1) ein.

In die sich nun ergebende Gleichung setzt man schliesslich (2), (3),  (4) und (5) ein, kürzt alles Mögliche heraus und erhält schliesslich:

Spearman Rho 

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19.09.2005

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