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Zentrale Momente

"Zentral" heissen die Momente deshalb, weil sie am Mittelwert µ "zentriert" sind. 

Die Berechnung der zentralen Momente für beliebige Verteilungsfunktionen wird hier beispielhaft dargestellt: 

--> Charakteristische Funktion bzw. Momentenerzeugende Funktion.

 

Die ersten 4 zentralen Momente einer Dichtefunktion und davon abgeleitete Grössen

Die zentralen Momente einer Verteilungsfunktion kann man etwas salopp formuliert als Taylor-Entwicklung der Dichtefunktion um den Mittelwert µ ansehen. 

Das k-te Moment ist definiert zu:

Zentrale Momente im diskreten bzw. kontinuierlichen Fall.  

Für "x" wird bei höheren Momenten (x-µ) bzw. (x-µ)/s eingesetzt. 

Höhere Momente werden also mit den ersten beiden Momenten skaliert. 

1.

Erwartungswert

Mittelwert 

 

k=1

Das erste zentrale Moment einer Verteilungsfunktion ist gleich dem Erwartungswert E(x) der zentrierten Variablen (x-µ) und berechnet sich zu: 

 

Erstes zentrales Moment

 

Der Erwartungswert ist also das gewichtete Mittel von X, wobei die Gewichtung jeweils mittels der entsprechenden Wahrscheinlichkeit erfolgt. 

2.

Varianz

Streuung

 

k=2

Das zweite zentrale Moment, die Varianz Var(x), ist gleich dem Erwartungswert der 2. Potenz der zentrierten Variablen (x-µ), 

 ist der wichtigste Streuungs parameter einer Verteilungsfunktion und berechnet sich zu: Zweites zentrales Moment

Die Varianz ist also das gewichtete Mittel über die quadratischen Abweichungen von X vom Erwartungswert, wobei die Gewichtung jeweils mittels der entsprechenden Wahrscheinlichkeit erfolgt, 

 

Die  Standardabweichung ergibt sich aus der Wurzel der Varianz.

3.

Schiefe 

 

k=3

Die Schiefe ist aus dem 3. zentralen Moment abgeleitet und ist der Erwartungswert der 3. Potenz der standardisierten Variablen 

und berechnet sich zu:

Drittes zentrales Moment

Die Schiefe wird oft als Mass für die Schiefe einer Verteilungsfunktion herangezogen, obwohl das 5., 7. usw. zentrale Moment ebenfalls zur Schiefe beitragen.

4.

Kurtosis

Wölbung 

 

k=4

Die Wölbung ist aus dem 4. zentralen Moment abgeleitet und ist der Erwartungswert der 4. Potenz der standardisierten Variablen 

und berechnet sich zu:

Viertes zentrales Moment

Die Wölbung wird oft als Mass für die "Flachheit" einer Verteilungsfunktion herangezogen, obwohl das 6.,8,. usw. zentrale Moment ebenfalls zur Flachheit beitragen. Eine weitere gebräuchliche Grösse für die Wölbung ist der Exzess. 

Exzess = Kurtosis -3. 

Die Standardnormalverteilung hat die Kurtosis 3, folglich den Exzess 0.

 

"Zentral" heissen die Momente deshalb, weil sie am Mittelwert µ "zentriert" sind. 

Die Berechnung der zentralen Momente für beliebige Verteilungsfunktionen wird hier beispielhaft dargestellt: 

--> Charakteristische Funktion bzw. Momentenerzeugende Funktion.

 

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