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Charakteristische Funktion

Fouriertransformierte einer  Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Rechenhilfe zur einfachen Berechnung der Momente einer Verteilungs(Dichte-)Funktion. 

Hierzu gebräuchlich ist auch die momentenerzeugende Funktion.

Charakteristische Funktion		Momentenerzeugende Funktion
Angewandt auf eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt:
kontinuierlich	diskret	kontinuierlich	diskret
Dies ist der Erwartungswert von bezüglich der Dichtefunktion f(x)		Dies ist der Erwartungswert von  bezüglich der Dichtefunktion f(x)
Die j-te Ableitung nach t ergibt:
Keine Konvergenzschwierigkeiten, Schwieriger zu berechnen		Oft Konvergenzschwierigkeiten, Leicht zu berechnen
Nun setzt man t=0 und erhält
Dies sind die j-ten Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilung F(x) bezüglich x für den diskreten bzw. kontinuierlichen Fall.   Anmerkung: t=0 bedeutet bzw. =1. Die Antwort auf Frage, weshalb man t=0 nicht von Anfang an eingesetzt hat, ist ganz einfach: Weil man dann nicht in den Genuss der durch bzw. implizierten Umformungsschritte, ja sogar überhaupt nicht zu den j-ten Momenten gekommen wäre.

2 Beispiele zur Berechnung diverser Momente mit Hilfe der momentenerzeugenden Funktion

1.) Binomialverteilung

1.a) Berechnung der momentenerzeugenden Funktion

Der Erwartungswert von   lautet dann:

  <=>    <=> 

Der letzte Umformungsschritt folgt direkt aus dem binomischen Lehrsatz

1.b) Berechnung des Mittelwertes

Das erste Moment berechnet sich mittels der ersten Ableitung nach t zu:  

mit t=0 ergibt sich: ,

also Mittelwert = np.

1.c) Berechnung der Varianz

Das zweite Moment berechnet sich zu:

<=>

mit t=0 ergibt sich:

Mit der unter Varianz angegebenen Formel

  ergibt sich

  = np(1-p),

also Varianz = np(1-p).

2.) Poissonverteilung 

2.a)Berechnung der momentenerzeugenden Funktion

Erwartungswert von :

   <=>    <=> 

2.b) Berechnung des Mittelwertes

mit t=0 ergibt sich ,

also Mittelwert =

2.c) Berechnung der Varianz

mit t=0 ergibt sich ,

mit der bei Varianz angegebenen Formel

ergibt sich 

Varianz =

2.d) Berechnung der Schiefe

mit t=0 und der bei Schiefe und Varianz angegebenen Formeln

bzw. 

ergibt sich  nach mehreren Umformumngsschritten

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21.08.2005