Momentenerzeugende und Charakteristische Funktion mit Beispielen

Mittelwert, Varianz, Schiefe von Binomialverteilung und Poissonverteilung

Ohne Frames

Charakteristische Funktionen oder Momentenerzeugende Funktionen werden benötigt, um die Momente von Verteilungsfunktionen herzuleiten, also z.B. Mittelwert, Varianz, Schiefe bzw. Kurtosis,  Wölbung bzw. Exzess. Diese Funktionen erzeugen etwas; sie sind ein Kunstgriff aus der Mathematik und machen gewisse Umformungsschritte erst möglich.

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Charakteristische Funktion

Fouriertransformierte einer  Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Rechenhilfe zur einfachen Berechnung der Momente einer Verteilungs(Dichte-)Funktion. 

Hierzu gebräuchlich ist auch die momentenerzeugende Funktion.

 

Charakteristische Funktion Momentenerzeugende Funktion
Angewandt auf eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt:
kontinuierlich diskret kontinuierlich diskret
Charakteristische Funktion Charakteristische Funktion Momentenerzeugende Funktion Momentenerzeugende Funktion
Dies ist der Erwartungswert von bezüglich der Dichtefunktion f(x) Dies ist der Erwartungswert von  bezüglich der Dichtefunktion f(x)

Die j-te Ableitung nach t ergibt:

  • Keine Konvergenzschwierigkeiten,
  • Schwieriger zu berechnen
  • Oft Konvergenzschwierigkeiten,
  • Leicht zu berechnen

Nun setzt man t=0 und erhält

Dies sind die j-ten Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilung F(x) bezüglich x für den diskreten bzw. kontinuierlichen Fall.

 

Anmerkung:

t=0 bedeutet bzw. =1.

Die Antwort auf Frage, weshalb man t=0 nicht von Anfang an eingesetzt hat, ist ganz einfach: Weil man dann nicht in den Genuss der durch bzw. implizierten Umformungsschritte, ja sogar überhaupt nicht zu den j-ten Momenten gekommen wäre.

 

 

2 Beispiele zur Berechnung diverser Momente mit Hilfe der momentenerzeugenden Funktion

 

1.) Binomialverteilung

 

1.a) Berechnung der momentenerzeugenden Funktion

                

Der Erwartungswert von   lautet dann:

  <=>    <=> 

Der letzte Umformungsschritt folgt direkt aus dem binomischen Lehrsatz

 

 

1.b) Berechnung des Mittelwertes

Das erste Moment berechnet sich mittels der ersten Ableitung nach t zu:  

mit t=0 ergibt sich: ,

also Mittelwert = np.

 

 

1.c) Berechnung der Varianz

 

Das zweite Moment berechnet sich zu:

<=>

 

mit t=0 ergibt sich:

 

Mit der unter Varianz angegebenen Formel

  ergibt sich

  = np(1-p),

 

also Varianz = np(1-p).

 

 

2.) Poissonverteilung 

 

2.a)Berechnung der momentenerzeugenden Funktion

Erwartungswert von :

   <=>    <=> 

 

2.b) Berechnung des Mittelwertes

 

mit t=0 ergibt sich ,

also Mittelwert =

 

2.c) Berechnung der Varianz

 

mit t=0 ergibt sich ,

mit der bei Varianz angegebenen Formel

ergibt sich 

Varianz =

 

2.d) Berechnung der Schiefe

 

 

mit t=0 und der bei Schiefe und Varianz angegebenen Formeln

 

bzw. 

 

ergibt sich  nach mehreren Umformumngsschritten

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21.08.2005

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