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Fouriertransformierte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Rechenhilfe zur einfachen Berechnung der Momente einer Verteilungs(Dichte-)Funktion.
Hierzu gebräuchlich ist auch die momentenerzeugende Funktion.
Charakteristische Funktion | Momentenerzeugende Funktion | ||
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Angewandt auf eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt: | |||
kontinuierlich | diskret | kontinuierlich | diskret |
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Dies ist der Erwartungswert von ![]() |
Dies ist der Erwartungswert
von ![]() |
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Die j-te Ableitung nach t ergibt: |
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Nun setzt man t=0 und erhält |
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Dies sind die j-ten Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilung F(x) bezüglich x für den diskreten bzw. kontinuierlichen Fall.
Anmerkung: t=0 bedeutet Die Antwort auf Frage, weshalb man t=0 nicht von
Anfang an eingesetzt hat, ist ganz einfach: Weil man dann nicht in den
Genuss der durch |
2 Beispiele zur Berechnung diverser Momente mit Hilfe der momentenerzeugenden Funktion
1.a) Berechnung der momentenerzeugenden Funktion
Der
Erwartungswert
von
lautet dann:
<=>
<=>
Der letzte Umformungsschritt folgt direkt aus dem binomischen Lehrsatz
1.b) Berechnung des Mittelwertes
Das
erste
Moment berechnet sich mittels der ersten Ableitung nach t zu:
mit
t=0 ergibt
sich: ,
also Mittelwert = np.
1.c) Berechnung der Varianz
Das zweite Moment berechnet sich zu:
<=>
mit t=0 ergibt sich:
Mit der unter Varianz angegebenen Formel
ergibt sich
= np(1-p),
also Varianz = np(1-p).
2.a)Berechnung der momentenerzeugenden Funktion
Erwartungswert
von
:
<=>
<=>
2.b) Berechnung des Mittelwertes
mit t=0 ergibt sich
,
also
Mittelwert
=
2.c) Berechnung der Varianz
mit t=0 ergibt sich
,
mit der bei Varianz angegebenen Formel
ergibt sich
Varianz
=
2.d) Berechnung der Schiefe
mit t=0 und der bei Schiefe und Varianz angegebenen Formeln
bzw.
ergibt sich nach mehreren Umformumngsschritten
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21.08.2005