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Verhältnis Volumen zu Oberfläche bei einem Würfel

 

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Würfel
Gebäudeisolation
Ökogeographische Regeln
Grosse und kleine Tiere
Ameise und Floh
Kleine Tiere und Totfallen
Herzschlagfrequenz
Langes Seil
   Um an das Thema heranzuführen betrachten wir als Erstes einen Würfel mit Kantenlänge 1 Meter (m).
 

 

Dieser Würfel hat natürlich das Volumen 1 m3.
Durch seine 6 Flächen mit jeweils 1 m2 hat er eine Gesamtoberfläche von 6 m2.

Nun betrachten wir einen Würfel mit Kantenlänge 2m. Sein Volumen beträgt 2m x 2m x 2m = 8m3, und seine Oberfläche 6 x 2m x 2m = 24 m2.
Das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche des kleineren Würfels beträgt 1m3 / 6m2 = 1/6 m. Die Dimension Meter bei dem Verhältnis hat keine besondere Bedeutung, ist jedoch physikalisch richtig. Keine besondere Bedeutung deshalb, weil der absolute Wert 1/6 für alle weiteren Überlegungen irrelevant ist. Warum, wird gleich klar werden.
Das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche des grösseren Würfels beträgt 8m3 / 24m2 = 1/3 m. Auch hier ist der Wert 1/3 nicht besonders relevant.

Setzt man diese beiden Verhältnisse jedoch wieder ins Verhältnis, dann ergibt sich folgendes, und das ist dann wirklich relevant:

(1/3m) / (1/6m) = 2

Erstens kürzen sich die Dimensionen Meter heraus, zweitens ist der Wert 2 eine eindeutig interpretierbare Grösse, nämlich:

Der grössere Würfel hat -bezogen auf seine Oberfläche- das doppelte Volumen.


Die Konsequenzen dieses Satzes sind weitreichend: Die physikalischen Verhältnisse bestimmter Systeme ändern sich nämlich allein dadurch, dass man die Systeme vergrössert. In vielen Fällen wird sich herausstellen, dass dies mit technologischen Machbarkeitsgrenzen einher geht.

Wichtig ist der unterstrichene und kursiv geschriebene Teilsatz, denn dass grössere Körper ein grösseres Volumen haben, ist ja klar. 


In dem Beispiel mit den Würfeln könnte man auch sagen: Der Würfel mit dem 8-fachen Volumen hat die 4-fache Oberfläche. Mathematisch ist das kein Zufall:

Durch die Verdoppelung der Kantenlänge von 1 m auf 2m und der Tatsache, dass die Fläche mit dem Quadrat der Kantenlänge, und das Volumen mit der 3. Potenz der Kantenlänge korreliert ist, ergibt sich ja gerade (23) / (22) = 2.


Dies gilt nicht nur für Würfel, sondern für alle geometrischen Formen.

Allgemein kann man sagen: 


Bei Körpern mit ähnlicher Form hat der grössere nicht nur das grössere Volumen,

sondern sein Volumen ist auch bezogen auf seine Oberfläche grösser.


Die Konsequenzen dieser Grundaussage sollen anhand der nun folgenden Beispiele veranschaulicht werden.

 

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