Weibullanalyse und Weibullnetz

Binomiale Vertrauensintervalle der Rangpositionen

Ohne Frames

Die hier vorgestellte Methode zur Bestimmung der Datenpunkt-Rangpositionen ist exakt und somit die genaueste. Alternativ gibt es noch die Methoden Hazen, California Relationship, Weibull Mean Rank und  Benards Mean Rank.
Bei der Weibullanalyse kommt es sehr darauf an, wo genau man die Datenpunkte ins Weibullnetz einträgt, also wo die Rangpositionen genau liegen. Obwohl es hier konkret um die Weibullverteilung geht, kommen dennoch die Vertrauensintervalle der Binomialverteilung ins Spiel. 
Die Weibullanalyse selbst wird unter Weibullanalyse beschrieben.

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Beta Binomiale Vertrauensintervalle 

Verteilungsfunktionsfreie, rangbasierte  Methode zur Abschätzung von Vertrauensintervallen

(Siehe auch Schätzen

 

Dies ist nichts Anderes als die (kumulierte) Binomialverteilung.

 

N: gesamte Anzahl Messwerte, 

P: Vertrauensgrenze (typischerweise 90% oder grösser)

k: Nummer des Messwertes 

j: Ordnungsnummer

Z: Rangposition, dies ist die gesuchte Variable.

 

Die wichtigste praktische Anwendung der obigen Formel ist die Ermittlung der Rangpositionen, die man zum Eintragen der Ausfälle in ein Weibullnetz braucht. Es sei vorab betont, dass obige Formel nicht mit der Weibullverteilung in Verbindung steht, sondern dass  sie universell für alle Verteilungsfunktionsarten gilt. Die folgende Erklärung bezieht sich dennoch auf die Weibullverteilung.

 

1.)

Nehmen wir an, wir hätten einen Test laufen, mit dem wir die Lebensdauer von Bauteilen bestimmen wollten.

Der Test sei schon eine Weile gelaufen und es sind inzwischen bereits 2 der insgesamt 10 Bauteile ausgefallen.

Unabhängig davon, ob die Ausfallrate sich zeitlich ändert, ist der momentane Zustand (2 Ausfälle) ein Zufallsereignis, bei dem jedes der 10 Bauteile die selbe Wahrscheinlichkeit hatte, auszufallen.

Diese Einzelwahrscheinlichkeit p kann man nicht eindeutig berechnen, da man ja die nicht weiss, wie optimistisch oder pessimistisch die 2 von 10 Ausfälle die (unbekannte!) Realität wiedergeben.

Man kennt ja die Einzelwahrscheinlichkeit nicht, sondern nur die Anzahl eingetretener Einzelereignisse zu einem gegebenen Zeitpunkt. Um zu einem gegebenen Zeitpunkt 2 von 10 Ausfälle vorliegen zu haben, ist aber eine gewisse Spanne der Einzelwahrscheinlichkeit denkbar.

Die Einzelwahrscheinlichkeit p ist gleich dem Anteil der Gesamtpopulation, der zum Zeitpunkt "2 von 10 ausgefallen" bereits ausgefallen ist. Intuitiv liegt nahe, dass p hier = 0,2 sein muss.

 

Betrachten wir aber einmal die folgenden Binomialverteilungen, die bereits vorab mit den für dieses Beispiel "richtigen" Werten  versehen sind (wird sich im Nachhinein herausstellen):

Weibull Rangposition Binomialverteilung = 0,67 Das bedeutet:

Bei einer Eintrittswahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses von p=0,2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 möglichen Ereignissen bis zu 2 (also 0,1 oder 2) auftreten, gleich P=0,67.

--> Die intuitiv zu 0,2 geschätzte Einzelwahrscheinlichkeit ist zu optimistisch. In mehr als 50 % aller Fälle (67%) würde man 2 von 10 Ausfälle vorliegen haben.

Weibull Rangposition Binomialverteilung  = 0,5 Das bedeutet:

Bei einer Eintrittswahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses von p=0,258 ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 möglichen Ereignissen bis zu 2 (also 0,1 oder 2) auftreten, gleich P=0,5.

--> Wenn die 2 von 10 Ausfälle "in etwa" der unbekannten Realität entsprechen (P=0.5) , dann liegt die Einzelwahrscheinlichkeit bei p=0,258.

 

Weibull Rangposition Binomialverteilung= 0,9 Das bedeutet:

Bei einer Eintrittswahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses von p=0,115 ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 möglichen Ereignissen bis zu 2 (also 0,1 oder 2) auftreten, gleich P=0,9.

--> Wenn die 2 von 10 Ausfälle "zu viel" sind im Vergleich zur unbekannten Realität (P=0.9) , dann muss die Einzelwahrscheinlichkeit niedriger sein, nämlich p=0,115.

Weibull Rangposition Binomialverteilung = 0,1 Das bedeutet:

Bei einer Eintrittswahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses von p=0,449 ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 möglichen Ereignissen bis zu 2 (also 0,1 oder 2) auftreten, gleich P=0,1. 

--> Wenn die 2 von 10 Ausfälle "zu wenig" sind im Vergleich zur unbekannten Realität (P=0.1) , dann muss die Einzelwahrscheinlichkeit höher sein, nämlich p=0,449.

 

Für die Eintragung in das Weibullnetz bedeutet das:

Wenn man bei der Ermittlung der Ausfallrate zu (100-10)% =  90 %sicher gehen will, dann trägt man den 2. von 10 Ausfällen bei der Wahrscheinlichkeit p=0,449 ein.

Reicht dagegen 50/50 Sicherheit, dann trägt man den 2. von 10 Ausfällen bei der Wahrscheinlichkeit p=0,258 ein.

 

Für praktische Anwendung hierzu siehe Vertiefung unter Weibull Netz, jeweils bei "Ermitteln der Rangpositionen", 

und zur Berechnung mittels Excel Solver diese Exceltabelle.

 

Siehe auch Likelihood Ratio und Fisher Matrix für weitere Methoden zur Berechnung von Vertrauensintervallen

 

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19.08.2005

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