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Glossar
Weibullnetz
Unterabschnitte:
0. Vorbereiten des
Datenmaterials
1. Beispiel 1: Nicht-zensorisierte Daten
2. Beispiel 2: Zensorisierte Daten
3. Beispiel 3: Sudden Death Verfahren
4. Generelle Anmerkungen zur
Anpassungsgüte
0. Vorbereiten des
Datenmaterials
Die
während der Tests angefallenen Lebensdauerdaten müssen vor der
Eintragung in ein Weibullnetz mit Hilfe der folgenden Schritte aufbereitet werden.
-
Sortieren
der Ausfallzeitpunkte nach aufsteigender Reihenfolge (also früheste
Ausfälle zuerst)
-
Ermitteln
der Rangpositionen (0.....1) nach einer der folgenden gebräuchlichen
Methoden:
(Eilige
Leser mögen sich mit der gelb
unterlegten Variante begnügen. Diese Variante wird bei den
meissten Weibullanalysen angewendet)
| Bezeichnung |
Formel |
Erklärung |
| California
Relationship |
k/N
[bei klassierten Daten ist diese Formel zu wählen] |
N:
Grösse der Testpopulation.
k:
Nummer des Ausfalls
Dem
k-ten Ausfallpunkt wird die kumulierte Ausfallhäufigkeit
entsprechend der verwendeten Formel zugewiesen. |
| Benard’s
median ranks |
(k-0.3)/(N+0.4) Dies
ist eine Näherung für P=0.5 (siehe weiter unten: Beta
Binomiale vertrauensintervalle) |
| Hazen
plotting position |
(k-0.5)/N |
| Weibull’s
mean rank |
[k/(N+1)] |
|
Exakte
Beta-Binomiale median ranks.
|
Achtung: Z ist die gesuchte
Variable.
N,k und P sind gegeben.
|
P: Vertrauensintervall
(einseitig) für die relative kumulierte Häufigkeit beim k-ten
Ausfall
Z: Rangposition beim k-ten
Ausfall (gesuchte kumulierte Ausfallhäufigkeit).
j: Ordnungsnummer
Benard's Median Ranks sind eine
Näherung der Z für P=0,5.
N: Grösse der
Testpopulation.
k: Nummer des Ausfalls |
|
Mit dem Solver in Excel kann man die
z-Werte für gegebene P bestimmen lassen. Siehe hierzu diese
Exceldatei.
Ausführlichere Erklärungen hierzu befinden sich unter
Beta Binomiale Vertrauensintervalle. |
-
Eintragen
der Wertepaare (Ausfallnummer | Rangposition) in das
Weibullnetz.
In der Literatur gibt es Tabellen für die
Rangpositionen im Abhängigkeit der Anzahl Individuen, sodass nicht
mir zuvor stehenden Formeln gerechnet werden muss. ferner gibt es
hinreichend Softwareprogramme, die dem Benutzer die Rangproblematik
komplett abnehmen.
-
Ablesen
der beiden Parameter "Lebensdauer" und
"Formfaktor" (siehe Weibullverteilung)
-
Lebensdauer:
Schnittpunkt der Näherungsgeraden mit der zur kumulativen
Ausfallhäufigkeit 63,2% gehörenden horizontalen Linie.
-
Formfaktor
(Ausfallsteilheit):
Schnittpunkt der zur Näherungsgeraden parallelen, jedoch durch
den Punkt "Pol" gehenden Geraden mit der rechten
vertikalen Skala.
Anmerkung:
Kommerzielle Softwarepakete berechnen beides automatisch.
Beispiel
1:
Nicht zensorisierte
Daten
N=12;
10 davon bisher ausgefallen.
Weibull
Lebensdauernetz für das Beispiel Nicht zensorisierte Daten mit unterer 90%
Vertrauensgrenze.
Die
untere Vertrauensgrenze ist diejenige Kurve, bezüglich der die "wahre" (aber
unbekannte) Gerade mit 90% Wahrscheinlichkeit rechts davon liegt.
Für
Eta als charakteristische Lebensdauer ergibt sich 1064. Die
Ausfallsteilheit beträgt 1,321.
Bei zensorisierten
Daten kommt das Johnson Verfahren zur
Anwendung. Dieses berücksichtigt 2 Sachverhalte:
-
Die
zensorisierten Daten erhöhen die kumulierte Lebensdauer,
-
Die
zensorisierten Daten verringern den jeweiligen Bestand.
Beispiel
2: Zensorisierte
Daten
Weibull
Lebensdauernetz für das Beispiel zensorisierte Daten mit unterer 90%
Vertrauensgrenze.
Die
Vertrauensgrenze ist die Einhüllende, innerhalb der die "wahre" (aber
unbekannte) Gerade mit 90% Wahrscheinlichkeit liegt.
Man
beachte, dass hier 50.000 km ausfallfreie Zeit mit berücksichtigt sind,
d.h.: für Eta als charakteristische Lebensdauer egribt sich 50.9 + 50 =
109000 km. Die Ausfallsteilheit beträgt 1,708.
Hätte
man in obigem Beispiel die zensorisierten Daten einfach ignoriert, dann
würde man ein falsches Ergebnis bekommen:
-
Ginge
man von einer Population von 12 aus, dann wäre die letzte
Rangposition anstatt 49.73% bei über 94%, und somit die ermittelte
Lebensdauer zu gering.
-
Ginge
man von einer Population von 50 aus, dann wäre die letzte
Rangposition anstatt 49.73% bei nur 23%, und somit die ermittelte
Lebensdauer zu hoch.
Beispiel
3:
Sudden Death
Eine
Population wird in kleine Gruppen unterteilt. Die jeweils ersten Ausfälle
pro Gruppe werden notiert.
Die
Unterteilung in Untergruppen macht man nicht aus Prinzip, sondern ist
durch die Art des Testmaterials vorgegeben, wie folgendes Beispiel zeigt.
Beispielskizze:
Lebenserwartung von Einlassventilen bei Vierzylindermotoren. Bei Ausfall des ersten von
4 Ventilen ist der gesamte Motor defekt;
die
Ausfälle der weiteren 3 Ventile können aus technischen Gründen nicht
mehr "ertestet" werden.
Man
trägt hier die jeweils ersten Ausfälle anhand der exakten beta
binomialen median ranks auf , wobei hier P= 0.25 zu
setzen ist (ein Viertel, weil 4 Ventile/Einheit).
Schliesslich
verschiebt man die gesamte gewonnene Kurve im Weibullnetz soweit nach
rechts, wie es den Median Ranks entsprechen würde (P=0,5)
Ausführlichere Erklärungen
zu den P-Werten befinden sich unter
Beta Binomiale Vertrauensintervalle.
Generelle Anmerkungen zur
Anpassungsgüte.
Die
Güte der Anpassung kann angegeben werden mittels
-
Korrelationskoeffizient
Dies
ist möglich, weil die Achsen ja so skaliert werden, dass die
zugrundegelegte
Verteilungsfunktion (hier
Weibullverteilung) eine Gerade ergibt.
Liegt
der Korrelationskoeffitient "nahe bei" +1, dann gilt die Anpassung durch
die zugrundegelegte Verteilungsfunktion als gut.
Dies
bedeutet aber nicht zwangsläufig, dass das Datenmaterial auch wirklich
vom zugrundegelegten Verteilungsfunktionstyp ist, selbst wenn der
Korrelationskoeffizient bei +0,99 liegen sollte.
Diesem
Sachverhalt wird durch den sogenannten
kritischen Korrelationskoeffizienten
Rechnung getragen.
Für
nähere Erläuterungen siehe
kritischer Korrelationskoeffizient, 2.
Der
kritische Korrelationskoeffizient wird von manchen Weibull
Softwarepaketen mitberechnet.
-
Likelihood Ratio
Dabei werden die Likelihood Funktionen zweier prinzipiell in
Betracht kommenden Verteilungsfunktionstypen miteinander verglichen.
Die
übergeordnete Methode heisst
Maximum Likelihood Estimation.
Im
Gegensatz zum kritischen Korrelationskoeffizienten kann mit dieser
Methode nur eine relative Anpassungsverbesserung im Vergleich zu
einer anderen Verteilungsfunktion angegeben werden, aber keine
absolute Anpassungsgüte.
Tests,
die speziell auf sich ändernde Ausfallraten testen, befinden sich hier.
01.09.2005
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