Der Produkt Moment Korrelationskoeffizient nach Bravais Pearson

Fallzahlplanung, Mittelung, Unterschied, Abhängigkeit

Ohne Frames

Hier geht es um verschiedene Aspekte des Pearsonschen Korrelationskoeffizienten ("der" Korrelationskoeffizient, auch Bravaisscher Korrelationskoeffizient oder Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient): Fallzahlplanung mit Alpha und Betarisiko, Test auf Unterschied, Test auf Unabhängigkeit, und Mittelung von Korrelationskoeffizienten.

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Statistische Tests zum Produkt Moment Korrelationskoeffizienten. 

Auf Beispiele wird verzichtet, da es sich lediglich um (zugegebenermassen manchmal recht umfangreiche) Einsetzaufgaben handelt.

Fallzahlplanung zum Nachweis eines Korrelationskoeffizienten

	Hier bedeuten  Zgauss,1-b den in die Standardnormalverteilung  eingesetzten Wert der Teststärke 1-b. (b = Betarisiko),  Zgauss,a den in die Standardnormalverteilung eingesetzten Wert des Alpharisikos a,  Zfisher den Wert der Fisher Transformation, in die man den geforderten Korrelationskoeffizienten r eingesetzt hat.
Diese Formel beantwortet die Frage:  "Wie gross muss die Stichprobe mindestens sein, um einen bestimmten Korrelationskoeffizienten r mit festgelegtem Alpharisiko und Betarisiko "nachweisen" zu können (natürlich nur, wenn die beiden Merkmale in Wirklichkeit mindestens über den geforderten Korrelationskoeffizienten verfügen)

Test auf Unterschied zweier unabhängiger Korrelationskoeffizienten 

Dazu benötigt man die Z_fisher-Transformierten der beiden Korrelationskoeffizienten. 

, mit  (Gepoolte Standardabweichung)

z_gauss ist die Standardnormalverteilungsfunktion. Es ergibt sich ein Wert zwischen 0 und 100%, der direkt das Signifikanzniveau bedeutet.  

Für den Vergleich der Korrelationskoeffizienten einer Stichchprobe und einer Grundgesamtheit setzt man n₂ = unendlich. 

Mittelung von mehreren verschiedenen Korrelationskoeffizienten 
Korrelationskoeffizienten sind begrenzt zwischen -1 und 1. 
Beispielsweise ist ein Zuwachs von 0,95 auf 0,96 weitaus bedeutsamer als ein Zuwachs von 0,10 auf 0,11. 
Zur Mittelung der Korrelationskoeffizienten muss man diese erst Z_fisher-Transformieren. 
Anschliessend wird aus den Transformierten der Mittelwert gebildet, und dieser schliesslich rücktransformiert. 

 
Sind die Stichprobenumfänge unterschiedlich, so muss nach folgender Formel gemittelt werden.

(Wirkt sich nur bei kleinen Stichproben nennenswert aus).

Dies ist  ein mit den Kehrwerten der Varianzen 1/(ni-3) gewichteter Mittelwert der Zfisher-Transformierten.  Je kleiner die Varianzi (je grösser ni), desto grösser das Gewicht des zugehörigen Zfisher,i

Test auf Unterschied mehrerer (k) unabhängiger Korrelationskoeffizienten.

Folgende Grösse ist asymptotisch Chi Quadrat verteilt mit k Freiheitsgraden. 

,                                 

mit   (Formel aus vorigem Abschnitt),  also:  

Vergleiche von Korrelationskoeffizienten kommen unter Anderem bei Metaanalysen zum Einsatz.

Diese Vergleiche sind ein Hilfsmittel um festzustellen, ob die Ergebnisse der Einzelanalysen konsistent sind oder sich eher widersprechen.

Test auf Unterschied zweier abhängiger Korrelationskoeffizienten: AC, BC

Merkmale A und B werden jeweils mit dem Merkmal C korreliert.

Untersucht wird, ob A mit C signifikant besser oder schlechter korreliert als B mit C.

,

wobei  

die Kovarianz zwischen den beiden Korrelationswerten r_ac und r_bc darstellt. (Die Kovarianz der beiden Verteilungen von r_ac und r_bc )

Test auf Unterschied zweier abhängiger Korrelationskoeffizienten: AB, CD

Merkmale A und B werden zweimal zu unterschiedlichen Zeitpunkten korreliert. 

Damit findet man heraus, ob sich ein Korrelationskoeffizient über die Zeit signifikant verändert (hat) oder nicht.

(Der besseren Übersicht halber sei im Folgenden von A, B und C,D, anstelle A,B,A',B', die Rede).

,

wobei

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01.02.2006