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Parameterfreies Analogon zum t-Test für verbundenen Stichproben.
Test auf Medianunterschied zweier verbundener Stichproben.
Voraussetzung: Die Differenzen müssen symmetrisch verteilt sein (also eine symmetrische Verteilungsform besitzen).
Für den parameterfreien Test bei unabhängigen Stichproben siehe Mann-Whitney Test.
Vorgehensweise:
1.) Berechne den Betrag der Differenz jedes Paares
2.) Sortiere die Betragsdifferenzen aufsteigend und ordne Ränge zu. Niedrigste Betragsdifferenz = Rang 1
3.) Berechne die Rangsummen T+ und T- für die beiden Möglichkeiten "1. Wert grösser als 2." und "2. Wert grösser als 1."
Prüfgrösse ist die kleinere der beiden Rangsummen, T.
4.) Vergleich der Prüfgrösse T mit den Schwellenwerten der folgenden Tabelle (für kleine Stichprobenumfänge N) oder ab N=20 Berechnung des Alpha Risikos aus der Standardnormalverteilung nach folgender Formel:
(Prüfgrösse muss kleiner oder gleich dem Schwellenwert sein)
Anmerkungen zur Berechnung des Alpha Risikos nach der obigen Formel:
Die Gauss'sche Z-Transformation liefert für u fast ausschliesslich negative Werte, weil für T die kleinere der beiden Rangsummen genommen wird.
Das Integral von minus oo bis u ergibt also direkt das Alpha Risiko.
Beispiel
[Selbes Beispiel wie beim Vorzeichentest.]
0.) Originaldaten
| Wertereihe_1 | 3 | 6 | 9 | 8 | 7 | 1 | 4 | 6 | 5 | 8 | 9 | 1 | 5 | 9 | 8 |
| Wertereihe_2 | 2 | 6 | 3 | 4 | 5 | 5 | 6 | 2 | 4 | 3 | 8 | 2 | 1 | 3 | 5 |
Nullhypothese: "Paardifferenzen gleichmässig verteilt"
1.) Ermittlung der Differenzbeträge
| Wertereihe_1 | 3 | 6 |
9 | 8 | 7 | 1 | 4 | 6 | 5 | 8 | 9 | 1 | 5 | 9 | 8 |
| Wertereihe_2 | 2 | 6 | 3 | 4 | 5 | 5 | 6 | 2 | 4 | 3 | 8 | 2 | 1 | 3 | 5 |
| Differenzbetrag | (+)1 | 0 | (+)3 | (+)2 | (+)2 | (-)4 | (-)2 | (+)4 | (+)1 | (+)5 | (+)1 | (-)1 | (+)4 | (+)6 | (+)3 |
2.)
Sortieren nach Differenzbetrag und Rangzuordnung
| Differenzbetrag | 0 | +1 | +1 | +1 | -1 | +2 | +2 | -2 | +3 | +3 | +4 | +4 | -4 | +5 | +6 |
| Rang | 1 | 3.5 | 3.5 | 3.5 | 3.5 | 7 | 7 | 7 | 9.5 | 9.5 | 11 | 11 | 11 | 14 | 15 |
3.) Rangsummen
| Rangsumme + | 94.5 |
| Rangsumme - | 21.5 |
T = 21.5. Mit N = 15 ergibt sich aus obiger Tabelle für das zweiseitige Alpha Risiko von 3% der Wert 21.
Die Nullhypothese "Paardifferenzen gleichmässig verteilt" muss also zum Alpha Risiko von 3% gerade noch abgelehnt werden.
[Rechnet man nach der Formel, so ergibt sich mit N=15 ein u Wert von -2.25. Das entspricht einem Alpha Risiko von 1.22%, was im Vergleich zu dem mit der Tabelle ermittelten Wert zu klein ist.]
Für eine Berechnung des Vorzeichen Rangtests mit Excel siehe hier.
Anmerkung 1
Bei Rangbindungen ist folgende Korrektur erforderlich:
Unter obigem Wurzelausdruck im Nenner von s muss im Zähler der Term
abgezogen werden.
ti: Länge der i-ten Rangbindungsgruppe, Anzahl Werte mit gleicher Rangziffer i.
Allen Nulldifferenzen wird einheitlich der Rang (p+1)/2 zugewiesen, wobei p die Anzahl Nulldifferenzen ist.
Anmerkung 2
Der Vorzeichentest gewichtet lediglich nach der Anzahl positiver und negativer Differenzen.
Der Vorzeichen Rangtest hingegen gewichtet die Differenzen nach ihrem Rang in der geordneten Rangreihe.
Fisher's Randomisierungstest gewichtet die Vorzeichen der Differenzen nach ihrem Betrag.
Für den parameterfreien Test bereiter1.comi unabhängigen Stichproben siehe Mann-Whitney Test.
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16.09.2005
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