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 Extremwerttheorem

 

 

Entspricht dem zentralen Grenzwertsatz, jedoch nicht für den Mittelwert, sondern für die jeweils grössten bzw. kleinsten Werte aus vielen Stichproben.

 

Betrachtet man die Extrema (also entweder die Maxima oder die Minima) von Stichproben, dann unterliegen diese der so genannten generalisierten Extremwertverteilung. Diese kann in 3 Typen unterteilt werden. 

Welcher Typ nun jeweils der gültige ist, hängt davon ab, welche Form die Ausgangsverteilung hat.

Die Form meint hier ausschliesslich die "Schwänze" der Ausgangsverteilungen: Ob sie dick, dünn oder kurz sind.

 

Allgemeine Form:

Extremwertverteilung falls delta <> 0,                  falls delta =0

 

Form der Ausgangsverteilung Beispiele dazu gehörige Extremwertverteilung
fat tailed 

(heavy tailed)

Frechet   (Typ2),

delta>0

thin tailed (long tailed)

Alle Verteilungs dichtefunktionen, deren rechter Schwanz sich der Null mindestens so schnell nähert wie die Exponentialverteilung.

Gumbel   (Typ1)

delta =0

short tailed

Für alle Schwänze von linksseitig begrenzten (nullbegrenzten) Verteilungsdichtefunktionen.

Weibull   (Typ3)

delta<0

 

Insbesondere ist die Extremwertverteilung einer Weibullverteilung wieder weibullvetreilt. 

 

Anwendung findet die Extremwertstatistik z.B. in:

 

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