Starkes und schwaches Gesetz der grossen Zahl
Die
relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nähert sich um so mehr der
theoretischen
Starkes Gesetz der grossen Zahlen:
"Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nimmt bei unendlicher
Wiederholung "fast sicher" den theoretisch erwarteten Wert an".
Schwaches Gesetz der grossen Zahlen:
("Konvergenz der Wahrscheinlichkeit")
"Die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses nähert sich seiner theoretischen Wahrscheinlichkeit bei entsprechend häufiger Wiederholung "beliebig nahe"" (das epsilon wird beliebig klein).
Das schwache Gesetz kann man mit der Tschebyscheff Ungleichung
relativ einfach beweisen; hier der grobe Gedankengang:
sigma wird mit wachsendem Stichprobenumfang gemäss n-1/2 kleiner (Zentraler Grenzwertsatz). Demnach kann man für grösser werdendes n den Faktor k immer grösser wählen, wodurch die rechte Seite der Tschebyscheff Ungleichung beliebig klein wird.
Für alle Gebiete und Aufgabenstellungen der Statistik ist das schwache Gesetz der grossen Zahlen ausreichend.
Ein sehr schönes Beispiel für dieses Gesetz liefert die Entropie.
Das Starke Gesetz der grossen Zahlen wird eher für mathematische Beweise benötigt.
Anmerkung:
Das
Verhältnis der Häufigkeiten der Zufallsereignisse nähert sich zwar dem
theoretisch erwarteten Wert beliebig nahe; die absoluten Abweichungen
der Häufigkeiten werden jedoch tendenziell grösser. Das kann man
beispielhaft direkt
aus der
Poissonverteilung entnehmen, deren
Varianz
gleich ihrem
Erwartungswert ist: Beide werden
immer grösser, je mehr Ereignisse vorhanden sind.
Beispiel 1:
Münzwurf, Kopf oder Zahl.
Das
Verhältnis Kopf/Zahl nähert sich zwar immer mehr 50/50, die absoluten
Unterschiede in den Häufigkeiten werden aber grösser, wie folgende Exceldatei veranschaulicht.
Beispiel 2, Lotto:
Der
reine Zufall sorgt dafür, dass manche Zahlen seltener gezogen werden.
Dies verleitet ahnungslose Lottospieler dazu, genau diese Zahlen zu
tippen. Da sehr viele Lottospieler diesem Irrtum erliegen, schmälern
sie obendrein auch noch ihren Gewinn, sollten sie irgendwann einmal
Glück haben.
Die
13 im 6 aus 49 Lotto bevorzugt zu tippen ist also gleich zweimal
falsch.