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Kruskal Wallis Test 

 

Erweiterung des Mann-Whitney Tests auf mehr als 2  Stichproben. 

Omnibustest.

Eine einfaktorielle Rangvarianzanalyse auf ordinalem Skalenniveau.

Wesentlichste Voraussetzung ist wie beim Mann-Whithney Test, dass alle Stichproben der selben Verteilungsform unterliegen,  und der Anteil an Ties nicht sehr gross ist. 

 

Die Ermittlung der Teststatistik erfolgt aber grundsätzlich verschieden vom Mann Whitney Test. 

Die Teststatistik folgt asymptoisch einer Chi Quadrat Verteilung mit k-1 Freiheitsgraden (k: Anzahl Stichproben)

Der Kruskal Wallis Test funktioniert im wesentlichen so: 

  1. Alle Stichproben werden in einen gemeinsamen Topf geworfen und dann die Einzelwerte in eine auf- oder absteigende Reihenfolge gebracht. 

  2. Jeder Einzelwert bekommt gemäss seiner Position in der Reihenfolge einen Rang zugewiesen. Der erste Rang ist 1, der nächstgrössere (oder kleinere) 2, usw. Bei Gleichheit mehrerer Messwerte wird allen betroffenen Werten ein gemeinsamer mittlerer Rang zugewiesen. 

  3. Die Rangsummen werden für jede der Stichproben gesondert berechnet. 

  4. Berechnung der Teststatistik H. 

    H ist Chi Quadrat verteilt mit (k-1) Freiheitsgraden. 

     

    Diese Formel gilt für nicht allzu viele Ties.

    		 k Anzahl Stichproben
    n Anzahl aller Einzelwerte in allen Stichproben
    ni Grösse der i-ten Stichprobe
    Oder vereinfacht, falls höchstens 1 Tie je Stichprobe vorliegt:
    Ri Rangsumme der i-ten Stichprobe
    Ti Anzahl Ties in der i-ten Stichprobe

Beispiel: 

0. Urwerte:

Messreihe_1 1 4 7 10 13 16
Messreihe_2 4 5 8 11 14 15
Messreihe_3 2 6 10 11 15 18

 

1.+2. Gemeinsame Rangreihe:

Messwert 1 2 4 4 5 6 7 8 10 10 11 11 13 14 15 15 17 18
Rang 1 2 3.5 3.5 5 6 7 8 9.5 9.5 11.5 11.5 13 14 15.5 15.5 17 18

 

3. Rangmittelwerte: 

Rangsumme der Messreihe 1 = (1+3.5+7+9.5+13+17)   = 51
Rangsumme der Messreihe 2 = (3.5+5+8+11.5+14+15.5)   = 57.5
Rangsumme der Messreihe 3 = (2+6+9.5+11.5+15.5+18)   = 62.5

 

4. Berechnung der Teststatistik. 

  Messreihe 1 Messreihe 2 Messreihe 3
Anzahl Messwerte/Stichprobe N1  =  6 N2  =  6 N3  =  6
Anzahl aller Messwerte

N=18
Rangsummen 51 57.5 62.5
Anzahl Ties/Stichprobe 0 0 0
Teststatistik

H  = 12/(18*19)*[(512)/6 + (57.52)/6 + (62.52)/6] - 3*19

= 0.389
Anzahl Freiheitsgrade

k-1 = 2
Signifikanzniveau

17.67%, also alles Andere als signifikant, was man schon durch Betrachten der oben stehenden gemeinsamen Rangreihe mit blossem Auge vermutet. 

"Signifikant" wäre z.B. 90%.

 

Das Signifikanzniveau wurde mit der Excelfunktion 1-CHIVERT(5,038;2) berechnet.

Für eineBerechnung des Kruskal Wallis Tests mit Excel siehe hier.

 

Anmerkung: 

Abgesehen von den in Post-Hoc-Tests vorgeschlagenen Einzelvergleichen (Mann-Whitney Tests mit

 Bonferroni Adjustierung) gibt es ein spezielles Einzelvergleichsverfahren nach Schaich-Hamerle.

Wird zwischen den Stichproben ein Trend vermutet, so kann der Jonckheere Terpstra Test angewandt werden.

 

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10.04.2006