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Paradoxa

Auf dieser Seite werden einige Paradoxa näher durchleuchtet. 

Eine Übersicht befindet sich in der Rubrik Paradoxon.

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Taxiproblem

In einer Grossstadt wurde ein Verbrechen begangen.

Ein Zeuge sagt aus, er habe ein weisses Taxi flüchten sehen.

In der Stadt gibt es 10 weisse und 190 gelbe Taxis. 

Der Zeuge möge sich mit 10% Wahrscheinlichkeit irren.

Fragen:

1.) Welche Farbe hatte das Taxi wahrscheinlich ?

2.) Bei welchen Taxis sollte die Polizei anfangen zu suchen? 

Die "paradoxe" Antwort vorweg: Das Taxi war wahrscheinlich gelb, dennoch sollte man bei den weissen Taxis anfangen zu suchen.

Zeugenaussagen sind -ähnlich wie statistische Tests- mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit behaftet.

Wenn also der Zeuge aussagt, es war ein weisses Taxi, dann kann es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auch ein gelbes Taxi gewesen sein.

Nehmen wir an, der Zeuge ist sich "ziemlich sicher" und es war bereits "ziemlich dunkel".

In Polizeikreisen sei bekannt, dass unter solchen Umständen sich ein Zeuge mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% irrt.

Folgende Tabelle erläutert die geschilderten Sachverhalte.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Einführung von Irrtumswahrscheinlichkeiten das Rätsel nicht akademisch verzerrt, sondern dass dies vielmehr der Wirklichkeit Rechnung trägt (an die der Ratende sicherlich nicht denkt) 

Zu 1.:

Unter der Annahme, dass der ´Zeuge sich mit 10% Wahrscheinlichkeit irrt und er behauptet, es war ein weisses Taxi, kann man mit 20/29 = 69% Sicherheit davon ausgehen, dass es ein gelbes Taxi gewesen ist.

Zu 2.:

Sucht man zuerst unter den gelben Taxis, dann wird man mit 69 % Wahrscheinlichkeit den Täter finden.

Jedes untersuchte gelbe Taxi wird also mit einer Wahrscheinlichkeit von 69%/200 = 0,345% zum Täter führen.

Sucht man zuerst unter den weissen Taxis, dann  wird man mit 31 % Wahrscheinlichkeit den Täter finden.

Jedes untersuchte weisseTaxi wird also mit einer Wahrscheinlichkeit von 31%/10 = 3,1% zum Täter führen.

Es ist also weitaus effektiver, bei den weissen ´Taxis anfangen zu suchen,

obwohl es wahrscheinlich eher ein gelbes Taxi gewesen ist.

07.10.2005

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Efronische Würfel  

Paradoxon: Der Spielleiter lässt seinen Gegner einen Würfel aussuchen, gewinnt jedoch langfristig immer gegen den Gegner.

Gegeben seien 3 Würfel mit folgenden, jeweils doppelt vorkommenden Augenzahlen 

A: 6 6 5 5 7 7  

B: 2 2 4 4 9 9 

C: 1 1 6 6 8 8 

A gegen B

B gegen C

C gegen A

Man erkennt, dass die Würfel zyklisch gegeneinander gewinnen. 

Wenn man den Gegner zuerst einen Würfel wählen lässt, dann wird man durch die richtige Wahl des eigenen Würfels langfristig  gegen den Gegner gewinnen.

07.10.2005

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Geschwisterproblem, Geschwisterparadoxon.

Folgendes Rätsel gibt es in zahlreichen Varianten:

"Eine Familie habe 2 Kinder. Eines davon ist ein Mädchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch das andere Kind ein Mädchen?" 

Während in einschlägiger Statistikliteratur 1/3 als die richtige Lösung propagiert wird, ist nach Auffassung des Verfassers ½  richtig. 

Der Verfasser ist der Ansicht, dass 1/3 allerhöchstens in einem rein mathematisch abstrakten Kontext richtig sein kann, und dass alle Versuche, dieses Rätsel in eine begreifbare Alltagswelt zu übersetzen zwangsläufig zu 1/2 führen. 

Der Grund für kontroverse Lösungsdiskussionen liegt in der Bedeutung der Aussage "Eines davon ist ein Mädchen", welche sich auf BEIDE Kinder bezieht. Man darf sich also nicht ein Kind "aussuchen", auf das sich diese Information beziehen soll, denn damit würde man zusätzliche, ursprünglich nicht gegebene Information hineinbringen. Dies ist der wesentliche Gedankengang der 1/3 Befürworter.

Als 1/3 Befürworter mag man das Rätsel mit Hilfe des folgenden Gedankenexperiments vollständig und richtig abgebildet sehen:

Gedankenexperiment:

Aus einer grossen Grundgesamtheit, bestehend aus Geschwisterpaaren, wird ein Geschwisterpaar gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen (M) dabei ist, beträgt 3/4, da Geschwisterpaare mit 2 Jungen (JJ) kein Mädchen enthalten. Hat man ein Geschwisterpaar gezogen, und man weiss, dass 1 Mädchen dabei ist, dann kommen dafür nur die Konstellationen MM, MJ und JM in Betracht. Die Kombination MM ist die einzige aus den 3 möglichen Kombinationen, bei welcher das zweite Kind ebenfalls ein Mädchen ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kinder Mädchen sind, NACHDEM bekannt ist, dass eines davon (nicht ein Bestimmtes) ein Mädchen ist, liegt also bei 1/3.

Wenn man sich statt der Geschwisterpaare Münzenpaare denkt, in denen die Münzen wahlweise Kopf (K) oder Zahl (Z) zeigen können, dann wird die Lösung 1/3 angeblich noch klarer: Nimmt man nämlich alle KK-Paare aus der Grundgesamtheit heraus (was der Information „eines ist ein Mädchen“ entspricht), dann hat genau 1/3 der übriggebliebenen Paare die Konstellation ZZ. Alle übriggebliebenen Paare haben nun mindestens ein Z, demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit für ZZ genau 1/3.

An dieser Stelle sei bereits auf die Anmerkung unter Bertrand's Kästchenparadoxon verwiesen, aus der hervorgeht, dass die zuvor geschilderte Argumentation angezweifelt werden darf.

Die Situation

"Eine Familie habe 2 Kinder. Eines davon ist ein Mädchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch das andere Kind ein Mädchen?"

entspricht nach Auffassung des Verfassers nicht den geschilderten Gedankenexperimenten. Das Rätsel kann nämlich nur in 3/4 aller denkbaren Fälle überhaupt so gestellt werden. Klarer wird dies, wenn man das Rätsel ein klein wenig ausschmückt, ohne es mathematisch zu verändern:

"Eine Familie mit 2 Kindern zieht in Nachbar’s Wohnung ein. Eines davon ist ein Mädchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch das andere Kind ein Mädchen?" (Unterschied rot hervorgehoben) 

So richtig greifbar klar wird es, wenn man sich als Mieter eines Hochhauses vorstellt, jede Woche eine Familie mit genau 2 Kindern in eine der Wohnungen einzieht und der Hausverwalter dem Mieter jedesmal die Information 

"eines der Kinder ist ein Junge /Mädchen" gibt. 

Nach der Logik der 1/3 Befürworter würden etwa 2/3 der Familien gemischtgeschlechtliche Kinder haben, und nur 1/3 gleichgeschlechtliche. 

-->Widerspruch! 

Bleiben wir aber beim Einzelexperiment. 

Es ist klar, dass der Vorgang „Familie zieht in Wohnung ein“ VOR dem Stellen des Rätsels stattgefunden haben muss.

Anders formuliert: Hätte man aus einer Grundgesamtheit ein JJ-Paar gezogen, dann kann man dies nicht einfach ignorieren.

Das Rätsel kann also im Falle JJ nicht in der beschriebenen Form gestellt werden, oder umgekehrt betrachtet hätte man im Falle der Konstellation JJ gefragt: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch das andere Kind ein Junge? 

Zu beachten ist auch, dass man bei den Konstellationen JM und MJ  zwei Möglichkeiten der Fragestellung hat.

Diese Situation entspricht vielmehr dem Vorgang

„Ziehe ein Münzenpaar aus der Grundgesamtheit, und entscheide, wie die Frage gestellt werden kann“, bzw.

"Stelle die Geschlechterkonstellation fest und entscheide, wie die Frage gestellt werden kann".

Einschränkungen oder zusätzliche Informationen können demnach nur NACH dem Ziehen gemacht werden, und diese werden je nach Ziehung nicht immer gleich ausfallen können. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Bemerkung „eines davon ist ein Mädchen“ keine Einschränkung im Sinne eines real ablaufenden Experiments darstellt, weil sie sich erst nach einer erfolgten Ziehung ergeben kann. Im Hinblick auf die in Nachbar`s Wohnung eingezogene Familie steht die Konstellation schon fest, bevor jemand auf die Idee kommt, das Rätsel überhaupt zu stellen. Hier sind alle Konstellationen JJ, MM, MJ, JM gleich wahrscheinlich, und daran ändert auch eine nachträgliche Feststellung „eines ist ein Mädchen“ nichts, da zu diesem Zeitpunkt die Würfel bereits gefallen sind.

Die folgende Tabelle macht die zuvor geschilderten Gedankengänge deutlich:

Siehe hierzu auch unbedingt die Anmerkung unter Bertrand's Kästchenparadoxon. 

Dieses Paradoxon entspricht nämlich dem Geschwisterproblem.

 In vielen Quellen wird dem bisher diskutierten Rätsel eine dem Folgenden entsprechende Variante gegenübergestellt:

"Eine Familie habe 2 Kinder. Das Ältere ist ein Mädchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist auch das andere Kind ein Mädchen?" (Unterschied rot hervorgehoben).

Nun ist dasjenige Kind, das ein Mädchen sein soll, klar identifiziert- so wird in diversen Quellen zumindest argumentiert. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das andere Kind nun ebenfalls ein Mädchen sein soll, - wird weiterhin argumentiert-, liegt nun bei 1/2.

Zwar wird nun ein Bestimmtes der beiden Kinder als Mädchen ausgewiesen, aber der Aussenstehende weiss ja immer noch nicht, welches das Mädchen sein soll. Für einen Aussenstehenden, der das Rätsel lösen soll, macht es definitiv keinen Unterschied, ob "eines der beiden" oder "das ältere" ein Mädchen ist.

Die Lösung ist hier ebenfalls 1/2, aber nicht mit der Begründung, dass das Mädchen klar identifiziert sei.

Auch hier ist der wahre Grund wieder im realen Ablauf zu suchen:

„Ziehe ein Münzenpaar aus der Grundgesamtheit, und entscheide, wie die Frage gestellt werden kann“, bzw.

"Ziehe ein Geschwisterpaar und ermittle das Geschlecht des Älteren".

07.10.2005

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Bertrand's Kästchenparadoxon

Es gibt 3 Schubladen mit jeweils 2 Kästchen pro Schublade.

• Schublade 1: In beiden Kästchen befindet sich eine Goldmünze

• Schublade 2: In beiden Kästchen befindet sich eine Silbermünze 

• Schublade 3: In einem Kästchen befindet sich eine Silbermünze, im Anderen eine Goldmünze.

Man zieht eine Schublade, öffnet eines der beiden Kästchen und findet eine Goldmünze.

Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich in dem anderen Kästchen eine Silbermünze? 

Die in diverser Statistikliteratur favorisierte Antwort lautet 1/3, welche im Gegensatz zum Geschwisterparadoxon vom Verfasser für richtig erachtet wird.

Wenn man eine Schublade ziehen und KEIN Kästchen öffnen würde, dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Kästchen eine Goldmünze und das Andere eine Silbermünze beinhaltet, trivialerweise 1/3, weil dafür nur die Schublade 3 in Frage kommt.

Wenn man nun ein Kästchen öffnet, dann würde man entweder eine Goldmünze oder eine Silbermünze finden.

Dieser Befund ändert aber nichts an der Wahrscheinlichkeit von 1/3, denn

• Die gezogene Schublade steht fest und kann nicht mehr verändert werden,

• irgendeine Münze muss man ja finden.

Bei Fund einer Goldmünze würde man zwar Schublade 2 ausschliessen können, aber es ist doppelt so wahrscheinlich, diese Goldmünze in Schublade 1 gefunden zu haben als in Schublade 3!

Die folgende Tabelle macht die zuvor geschilderten Gedankengänge deutlich:

Anmerkung:

Wären statt 3 Schubladen 4 im Rennen, wobei 2 davon die Konstellation Gold-Silber hätten, dann wäre die Lösung 1/2.

Nach Auffassung des Verfassers würde es sich dann um exakt den selben Aufgabentyp handeln wie das Geschwisterparadoxon.

Die Lösung für das Geschwisterparadoxons wird in einschlägiger Statistikliteratur allerdings mit 1/3 angegeben.

In der Rubrik Geschwisterparadoxon versucht der Verfasser darzulegen, dass 1/2 die richtige Lösung sein muss.

07.10.2005

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Ziegenproblem

Folgendes Rätsel gibt es in mehreren Varianten.

Ein Spieler steht vor 3 Türen. Hinter 2 Türen befindet sich eine (relativ wertlose) Ziege, hinter der übrigen Tür ein (teures) Auto. Der Spieler muss sich vorläufig für eine Tür entscheiden. Der Spielleiter nimmt die Entscheidung zur Kenntnis und öffnet daraufhin eine Tür, die folgende Kriterien erfüllt:

• Hinter der Tür befindet sich nicht das Auto,

• Es ist nicht die Tür, die der Spieler ausgewählt hat.

Der Spieler sieht nun 2 geschlossene Türen, wobei eine davon die von ihm gewählte ist, und eine offene Tür mit einer Ziege.

Für den Spieler, der auf das Auto erpicht ist, gibt es also noch 2 Möglichkeiten. Der Spielleiter bietet dem Spieler nun an, entweder die gewählte Tür beizubehalten, oder sich für die andere Tür zu entscheiden.

Das Rätsel lautet nun:

"Welches ist die bessere Strategie, Wechseln oder nicht Wechseln?" 

Lösung: Wechseln ist die bessere Strategie.

Erklärung: Im ersten Schritt wird der Spieler mit der Wahrscheinlichkeit P=2/3 sich für eine Tür entscheiden, hinter der eine Ziege steht. Der Spielleiter wird daraufhin die andere Ziegentür öffnen. Das Auto kann demnach nur noch hinter der dritten Tür stehen. Unter der genannten Anfangsbedingung (Spieler entscheidet sich im ersten Schritt für eine Ziegentür) führt die Strategie "Wechseln" im zweiten Schritt also mit 100% Sicherheit zum Auto. Hat sich der Spieler jedoch im ersten Schritt für die Tür zum Auto entschieden (P=1/3), so führt die Strategie "Wechseln" im zweiten Schritt demnach mit 100% Sicherheit zu einer Ziege. Insgesamt gewinnt man also mit der Wahrscheinlichkeit P= 2/3 das Auto, wenn man im 2. Schritt wechselt. 

07.10.2005

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Braess'sches Paradoxon

"Mehr Stau durch zusätzliche Strassen"  

Dieses Paradoxon dient zur Veranschaulichung, dass das Bestreben jedes Mitgliedes einer Gesellschaft nach maximalem Erfiolg zu einem Zustand führen kann, der für alle Mitglieder schlechter ist als ohne jegliches Bestreben. 

Siehe auch Eisverkäufer-Problem und Gefangenendilemma.

Auch hierzu gibt es mehrere Varianten. Das Prinzip bei allen ist wie folgt: 

In einem vorgegebenen Strassennetzwerk wird eine neue Strase eingefügt mit der Absicht, den Verkehr lokal zu entlasten. 

Wenn nur ganz wenige Leute die neue Strasse benutzen, dann wird für diese die Fahrzeit deutlich kürzer.  

Da durch die neue Strasse jedoch andere Verkehrsknoten stärker belastet werden, dauert für viele andere Fahrer die Fahrt etwas länger. 

Der Endzustand besteht darin, dass nun alle Fahrer länger brauchen als zuvor ohne die neue Strasse. 

Verlässt ein Fahrer den für ihn in der neuen Situation optimalen Weg, dann wird er durch noch höhere Fahrdauer bestraft.

Die Lösung des Paradoxons besteht darin, dass man die neue Strasse komplett sperrt. 

Dieses Paradoxon erfordert etwas trickreiche Verkehrskonstellationen. Ferner muss die Fahrdauer auf manchen Strassen von der Verkehrsdichte abhängen und auf anderen darf sie es wiederum nicht. 

07.10.2005

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Eisverkäufer-Problem

Dieses Paradoxon dient zur Veranschaulichung, dass das Bestreben jedes Mitgliedes einer Gemeinschaft nach maximalem Erfiolg zu einem Zustand führen kann, der für alle Mitglieder schlechter ist als ohne jegliches Bestreben. 

Siehe auch Gefangenendilemma und Braess'sches Paradoxon. 

2 Eisverkäufer teilen sich einen Badestrand von 1000 m Breite. 

Die optimalen Positionen der Verkaufsstände aus Sicht der Badenden liegen bei 250 m und 750 m, denn so müssen sie nur maximal 250 m gehen, um zu dem nächsten Eisverkäufer zu gelangen. 

Diese Situation bedeutet (bei sonst gleichen Bedingungen) 

• gleichen Profit für beide Verkäufer.

Nun komme Verkäufer 1 auf die Idee, sich heimlich 100 m näher an Verkäufer 2 zu postieren, in der Hoffnung, dass er es nicht merkt. Das führt zu

• höheren Profit für Verkäufer 1, da er in den Bereich von Verkäufer 2 eindringt.

• geringeren Profit für Verkäufer 2

Inzwischen hat Verkäufer 2 dies aufgrund seines Geschäftsergebnisses bemerkt und postiert sich ebenfalls 100 m näher in Richtung Verkäufer 1. Das führt zu 

• gleichen Profit für beide Verkäufer, 

So geht es eine Weile, bis beide Verkaufsstände direkt nebeneinander bei ca. 500 m stehen. 

Spätestens jetzt kann man davon ausgehen, dass einige der Badenden keine Lust mehr auf ein Eis haben, weil ihnen der Weg zu weit geworden ist. (Diejenigen Badenden, die sich bei 0 m und 1000 m befinden). 

Spätestens jetzt liegt folgende Situation vor: 

• gleicher Profit für beide Verkäufer,

• geringerer Profit für beide Verkäufer. 

Durch das Bestreben der Verkäufer nach Vorteil entsteht eine Situation, die für beide nachteilig ist. 

Dieses Beispiel lässt sich übertragen: 

• Wenn ein Konkurrent eine Werbekampagne startet, dann müssen die anderen mehr oder weniger nachziehen. 

  Wenn alle gleich gut sind, hat am Ende abgesehen von Unkosten keiner etwas davon. 

  Das Verbot von Zigarettenwerbung hat den Herstellern demnach sicherlich nicht ausschliesslich geschadet.

• Wenn 2 Kinder sich um ein Spielzeug streiten, sodass die Eltern es wegnehmen, dann hat kein Kind etwas davon.

07.10.2005

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Gefangenendilemma

Dieses Paradoxon dient zur Veranschaulichung, dass das Bestreben jedes Mitgliedes einer Gesellschaft nach maximalem Erfiolg zu einem Zustand führen kann, der für alle Mitglieder schlechter ist als ohne jegliches Bestreben. 

Siehe auch Eisverkäufer-Problem und Braess'sches Paradoxon.

2 Gefangene A und B werden verdächtigt. Ob sie schuldig sind ist nebensächlich. Die Gefangenen können nicht miteinander kommunizieren. Beiden wird Folgendes erklärt: 

Wenn A redet und B belastet, dann kommt A frei und B für 5 Jahre hinter Gitter. 

Entsprechendes gilt für vertauschte A und B. 

Wenn beide sich gegenseitig belasten, dann kommen beide für 4 Jahre hinter Gitter.

Wenn beide schweigen, dann kommen beide für 2 Jahre hinter Gitter. 

Folgende Tabelle veranschaulicht dies:

Wenn beide Gefangene auf ihre persönlich beste Lage hinarbeiten, dann wird es beiden umso schlechter gehen. 

Praktische Beispiele hierzu siehe unter Eisverkäufer-Problem und Braess'sches Paradoxon

07.10.2005